Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28219 / 8153
↖ ↑ ↗
← N 79.211510°
W 24.988403°		 ← 114.33 m → N 79.211510°
W 24.982910°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 79.210481°
W 24.988403°		 ← 114.34 m →
13 075 m²		 N 79.210481°
W 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430595397949219 y=0.124412536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430595397949219 × 216)
    floor (0.430595397949219 × 65536)
    floor (28219.5)     		tx = 28219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124412536621094 × 216)
    floor (0.124412536621094 × 65536)
    floor (8153.5)     		ty = 8153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28219 / 8153 ti = "16/28219/8153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28219/8153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28219 ÷ 216
    28219 ÷ 65536     		x = 0.430587768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8153 ÷ 216
    8153 ÷ 65536     		y = 0.124404907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430587768554688 × 2 - 1) × π
    -0.138824462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43612991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124404907226562 × 2 - 1) × π
    0.751190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35993356829536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43612991} λ = -0.43612991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35993356829536))-π/2
    2×atan(10.5902479008444)-π/2
    2×1.47664898595551-π/2
    2.95329797191102-1.57079632675     		φ = 1.38250165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43612991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38250165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.211510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28219 KachelY 8153 -0.43612991 1.38250165 -24.988403 79.211510
    Oben rechts KachelX + 1 28220 KachelY 8153 -0.43603404 1.38250165 -24.982910 79.211510
    Unten links KachelX 28219 KachelY + 1 8154 -0.43612991 1.38248370 -24.988403 79.210481
    Unten rechts KachelX + 1 28220 KachelY + 1 8154 -0.43603404 1.38248370 -24.982910 79.210481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38250165-1.38248370) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38250165-1.38248370) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43612991--0.43603404) × cos(1.38250165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187183986565739 × 6371000     		do = 114.329689734195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43612991--0.43603404) × cos(1.38248370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187201619267044 × 6371000     		du = 114.340459572504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38250165)-sin(1.38248370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187183986565739-0.187201619267044)×R²
    abs(-0.43603404--0.43612991)×1.76327013051703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76327013051703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76327013051703e-05×40589641000000     		ar = 13075.2962531355m²