Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28218 / 8269
↖ ↑ ↗
← N 79.091580°
W 24.993897°		 ← 115.60 m → N 79.091580°
W 24.988403°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
N 79.090541°
W 24.993897°		 ← 115.61 m →
13 360 m²		 N 79.090541°
W 24.988403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430580139160156 y=0.126182556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430580139160156 × 216)
    floor (0.430580139160156 × 65536)
    floor (28218.5)     		tx = 28218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126182556152344 × 216)
    floor (0.126182556152344 × 65536)
    floor (8269.5)     		ty = 8269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28218 / 8269 ti = "16/28218/8269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28218/8269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28218 ÷ 216
    28218 ÷ 65536     		x = 0.430572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8269 ÷ 216
    8269 ÷ 65536     		y = 0.126174926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126174926757812 × 2 - 1) × π
    0.747650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34881220758351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43622579} λ = -0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34881220758351))-π/2
    2×atan(10.4731224383856)-π/2
    2×1.47560240996787-π/2
    2.95120481993575-1.57079632675     		φ = 1.38040849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38040849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.091580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28218 KachelY 8269 -0.43622579 1.38040849 -24.993897 79.091580
    Oben rechts KachelX + 1 28219 KachelY 8269 -0.43612991 1.38040849 -24.988403 79.091580
    Unten links KachelX 28218 KachelY + 1 8270 -0.43622579 1.38039035 -24.993897 79.090541
    Unten rechts KachelX + 1 28219 KachelY + 1 8270 -0.43612991 1.38039035 -24.988403 79.090541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38040849-1.38039035) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dl = 115.569939999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38040849-1.38039035) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dr = 115.569939999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43622579--0.43612991) × cos(1.38040849) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.189239738138246 × 6371000     		do = 115.597374116551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43622579--0.43612991) × cos(1.38039035) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.189257550333904 × 6371000     		du = 115.608254722631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38040849)-sin(1.38039035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189239738138246-0.189257550333904)×R²
    abs(-0.43612991--0.43622579)×1.78121956584398e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.78121956584398e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.78121956584398e-05×40589641000000     		ar = 13360.2103265384m²