Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28218 / 43516
↖ ↑ ↗
← S 50.722547°
W 24.993897°		 ← 386.72 m → S 50.722547°
W 24.988403°		 →
↑
386.66 m
↓
↑
386.66 m
↓
S 50.726024°
W 24.993897°		 ← 386.69 m →
149 520 m²		 S 50.726024°
W 24.988403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430580139160156 y=0.664009094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430580139160156 × 216)
    floor (0.430580139160156 × 65536)
    floor (28218.5)     		tx = 28218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664009094238281 × 216)
    floor (0.664009094238281 × 65536)
    floor (43516.5)     		ty = 43516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28218 / 43516 ti = "16/28218/43516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28218/43516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28218 ÷ 216
    28218 ÷ 65536     		x = 0.430572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43516 ÷ 216
    43516 ÷ 65536     		y = 0.66400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.3280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03045159423273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43622579} λ = -0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03045159423273))-π/2
    2×atan(0.356845774682759)-π/2
    2×0.342760439784817-π/2
    0.685520879569634-1.57079632675     		φ = -0.88527545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88527545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.722547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28218 KachelY 43516 -0.43622579 -0.88527545 -24.993897 -50.722547
    Oben rechts KachelX + 1 28219 KachelY 43516 -0.43612991 -0.88527545 -24.988403 -50.722547
    Unten links KachelX 28218 KachelY + 1 43517 -0.43622579 -0.88533614 -24.993897 -50.726024
    Unten rechts KachelX + 1 28219 KachelY + 1 43517 -0.43612991 -0.88533614 -24.988403 -50.726024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88527545--0.88533614) × R
    6.06900000000854e-05 × 6371000     		dl = 386.655990000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88527545--0.88533614) × R
    6.06900000000854e-05 × 6371000     		dr = 386.655990000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43622579--0.43612991) × cos(-0.88527545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633076302583213 × 6371000     		do = 386.715596385854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43622579--0.43612991) × cos(-0.88533614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		du = 386.686898185418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88527545)-sin(-0.88533614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633076302583213-0.633029321931819)×R²
    abs(-0.43612991--0.43622579)×4.69806513944127e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69806513944127e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69806513944127e-05×40589641000000     		ar = 149520.353649862m²