Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28214 / 21534
↖ ↑ ↗
← N 52.382305°
W 25.015869°		 ← 372.82 m → N 52.382305°
W 25.010376°		 →
↑
372.83 m
↓
↑
372.83 m
↓
N 52.378953°
W 25.015869°		 ← 372.85 m →
139 004 m²		 N 52.378953°
W 25.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430519104003906 y=0.328590393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430519104003906 × 216)
    floor (0.430519104003906 × 65536)
    floor (28214.5)     		tx = 28214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328590393066406 × 216)
    floor (0.328590393066406 × 65536)
    floor (21534.5)     		ty = 21534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28214 / 21534 ti = "16/28214/21534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28214/21534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28214 ÷ 216
    28214 ÷ 65536     		x = 0.430511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21534 ÷ 216
    21534 ÷ 65536     		y = 0.328582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.13897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43660928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328582763671875 × 2 - 1) × π
    0.34283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07704626066342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43660928} λ = -0.43660928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07704626066342))-π/2
    2×atan(2.93599456814417)-π/2
    2×1.24252001489151-π/2
    2.48504002978302-1.57079632675     		φ = 0.91424370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43660928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91424370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.382305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28214 KachelY 21534 -0.43660928 0.91424370 -25.015869 52.382305
    Oben rechts KachelX + 1 28215 KachelY 21534 -0.43651341 0.91424370 -25.010376 52.382305
    Unten links KachelX 28214 KachelY + 1 21535 -0.43660928 0.91418518 -25.015869 52.378953
    Unten rechts KachelX + 1 28215 KachelY + 1 21535 -0.43651341 0.91418518 -25.010376 52.378953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91424370-0.91418518) × R
    5.85199999999508e-05 × 6371000     		dl = 372.830919999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91424370-0.91418518) × R
    5.85199999999508e-05 × 6371000     		dr = 372.830919999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43660928--0.43651341) × cos(0.91424370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610389816062808 × 6371000     		do = 372.818634583704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43660928--0.43651341) × cos(0.91418518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610436168778412 × 6371000     		du = 372.846946255502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91424370)-sin(0.91418518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610389816062808-0.610436168778412)×R²
    abs(-0.43651341--0.43660928)×4.63527156042698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63527156042698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63527156042698e-05×40589641000000     		ar = 139003.592297927m²