Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28213 / 6970
↖ ↑ ↗
← N 80.362515°
W 25.021363°		 ← 102.26 m → N 80.362515°
W 25.015869°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
N 80.361595°
W 25.021363°		 ← 102.27 m →
10 458 m²		 N 80.361595°
W 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430503845214844 y=0.106361389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430503845214844 × 216)
    floor (0.430503845214844 × 65536)
    floor (28213.5)     		tx = 28213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106361389160156 × 216)
    floor (0.106361389160156 × 65536)
    floor (6970.5)     		ty = 6970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28213 / 6970 ti = "16/28213/6970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28213/6970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28213 ÷ 216
    28213 ÷ 65536     		x = 0.430496215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6970 ÷ 216
    6970 ÷ 65536     		y = 0.106353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430496215820312 × 2 - 1) × π
    -0.139007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43670516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106353759765625 × 2 - 1) × π
    0.78729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47335227279642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43670516} λ = -0.43670516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47335227279642))-π/2
    2×atan(11.8621454216556)-π/2
    2×1.48669340235124-π/2
    2.97338680470248-1.57079632675     		φ = 1.40259048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43670516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.021363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40259048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.362515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28213 KachelY 6970 -0.43670516 1.40259048 -25.021363 80.362515
    Oben rechts KachelX + 1 28214 KachelY 6970 -0.43660928 1.40259048 -25.015869 80.362515
    Unten links KachelX 28213 KachelY + 1 6971 -0.43670516 1.40257443 -25.021363 80.361595
    Unten rechts KachelX + 1 28214 KachelY + 1 6971 -0.43660928 1.40257443 -25.015869 80.361595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40259048-1.40257443) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40259048-1.40257443) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43670516--0.43660928) × cos(1.40259048) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167413787649517 × 6371000     		do = 102.264959958106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43670516--0.43660928) × cos(1.40257443) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167429611109802 × 6371000     		du = 102.274625742239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40259048)-sin(1.40257443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167413787649517-0.167429611109802)×R²
    abs(-0.43660928--0.43670516)×1.58234602842811e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.58234602842811e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.58234602842811e-05×40589641000000     		ar = 10457.5516467585m²