Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28213 / 22181
↖ ↑ ↗
← N 75.733919°
W102.510681°		 ← 75.25 m → N 75.733919°
W102.507935°		 →
↑
75.24 m
↓
↑
75.24 m
↓
N 75.733242°
W102.510681°		 ← 75.25 m →
5 662 m²		 N 75.733242°
W102.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215251922607422 y=0.169231414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215251922607422 × 217)
    floor (0.215251922607422 × 131072)
    floor (28213.5)     		tx = 28213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169231414794922 × 217)
    floor (0.169231414794922 × 131072)
    floor (22181.5)     		ty = 22181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28213 / 22181 ti = "17/28213/22181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28213/22181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28213 ÷ 217
    28213 ÷ 131072     		x = 0.215248107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22181 ÷ 217
    22181 ÷ 131072     		y = 0.169227600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215248107910156 × 2 - 1) × π
    -0.569503784179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.78914890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169227600097656 × 2 - 1) × π
    0.661544799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.07830428302753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78914890} λ = -1.78914890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07830428302753))-π/2
    2×atan(7.99090710224994)-π/2
    2×1.44630128478369-π/2
    2.89260256956738-1.57079632675     		φ = 1.32180624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78914890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.510681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32180624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.733919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28213 KachelY 22181 -1.78914890 1.32180624 -102.510681 75.733919
    Oben rechts KachelX + 1 28214 KachelY 22181 -1.78910097 1.32180624 -102.507935 75.733919
    Unten links KachelX 28213 KachelY + 1 22182 -1.78914890 1.32179443 -102.510681 75.733242
    Unten rechts KachelX + 1 28214 KachelY + 1 22182 -1.78910097 1.32179443 -102.507935 75.733242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32180624-1.32179443) × R
    1.18099999999455e-05 × 6371000     		dl = 75.2415099996526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32180624-1.32179443) × R
    1.18099999999455e-05 × 6371000     		dr = 75.2415099996526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78914890--1.78910097) × cos(1.32180624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.246425315804893 × 6371000     		do = 75.2489346776192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78914890--1.78910097) × cos(1.32179443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.246436761588377 × 6371000     		du = 75.252429785299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32180624)-sin(1.32179443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246425315804893-0.246436761588377)×R²
    abs(-1.78910097--1.78914890)×1.14457834844983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.14457834844983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.14457834844983e-05×40589641000000     		ar = 5661.97495958567m²