Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28212 / 22204
↖ ↑ ↗
← N 75.718344°
W102.513428°		 ← 75.35 m → N 75.718344°
W102.510681°		 →
↑
75.31 m
↓
↑
75.31 m
↓
N 75.717666°
W102.513428°		 ← 75.35 m →
5 674 m²		 N 75.717666°
W102.510681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215244293212891 y=0.169406890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215244293212891 × 217)
    floor (0.215244293212891 × 131072)
    floor (28212.5)     		tx = 28212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169406890869141 × 217)
    floor (0.169406890869141 × 131072)
    floor (22204.5)     		ty = 22204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28212 / 22204 ti = "17/28212/22204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28212/22204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28212 ÷ 217
    28212 ÷ 131072     		x = 0.215240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22204 ÷ 217
    22204 ÷ 131072     		y = 0.169403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.56951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.78919684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169403076171875 × 2 - 1) × π
    0.66119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.07720173433627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78919684} λ = -1.78919684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07720173433627))-π/2
    2×atan(7.9821015932256)-π/2
    2×1.44616536422624-π/2
    2.89233072845248-1.57079632675     		φ = 1.32153440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78919684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.513428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32153440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.718344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28212 KachelY 22204 -1.78919684 1.32153440 -102.513428 75.718344
    Oben rechts KachelX + 1 28213 KachelY 22204 -1.78914890 1.32153440 -102.510681 75.718344
    Unten links KachelX 28212 KachelY + 1 22205 -1.78919684 1.32152258 -102.513428 75.717666
    Unten rechts KachelX + 1 28213 KachelY + 1 22205 -1.78914890 1.32152258 -102.510681 75.717666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32153440-1.32152258) × R
    1.18200000001067e-05 × 6371000     		dl = 75.3052200006801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32153440-1.32152258) × R
    1.18200000001067e-05 × 6371000     		dr = 75.3052200006801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78919684--1.78914890) × cos(1.32153440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24668876363599 × 6371000     		do = 75.3450981831578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78919684--1.78914890) × cos(1.32152258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24670021831882 × 6371000     		du = 75.3485967381378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32153440)-sin(1.32152258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24668876363599-0.24670021831882)×R²
    abs(-1.78914890--1.78919684)×1.14546828305084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14546828305084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14546828305084e-05×40589641000000     		ar = 5674.01092432745m²