Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28211 / 8243
↖ ↑ ↗
← N 79.118575°
W 25.032348°		 ← 115.30 m → N 79.118575°
W 25.026856°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
N 79.117538°
W 25.032348°		 ← 115.31 m →
13 297 m²		 N 79.117538°
W 25.026856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430473327636719 y=0.125785827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430473327636719 × 216)
    floor (0.430473327636719 × 65536)
    floor (28211.5)     		tx = 28211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125785827636719 × 216)
    floor (0.125785827636719 × 65536)
    floor (8243.5)     		ty = 8243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28211 / 8243 ti = "16/28211/8243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28211/8243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28211 ÷ 216
    28211 ÷ 65536     		x = 0.430465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8243 ÷ 216
    8243 ÷ 65536     		y = 0.125778198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430465698242188 × 2 - 1) × π
    -0.139068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43689690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125778198242188 × 2 - 1) × π
    0.748443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35130492636375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43689690} λ = -0.43689690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35130492636375))-π/2
    2×atan(10.499261552571)-π/2
    2×1.47583798225979-π/2
    2.95167596451957-1.57079632675     		φ = 1.38087964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43689690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.032348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38087964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.118575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28211 KachelY 8243 -0.43689690 1.38087964 -25.032348 79.118575
    Oben rechts KachelX + 1 28212 KachelY 8243 -0.43680103 1.38087964 -25.026856 79.118575
    Unten links KachelX 28211 KachelY + 1 8244 -0.43689690 1.38086154 -25.032348 79.117538
    Unten rechts KachelX + 1 28212 KachelY + 1 8244 -0.43680103 1.38086154 -25.026856 79.117538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38087964-1.38086154) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dl = 115.31510000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38087964-1.38086154) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dr = 115.31510000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43689690--0.43680103) × cos(1.38087964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188777080400899 × 6371000     		do = 115.302731965173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43689690--0.43680103) × cos(1.38086154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188794854931363 × 6371000     		du = 115.313588430998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38087964)-sin(1.38086154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188777080400899-0.188794854931363)×R²
    abs(-0.43680103--0.43689690)×1.77745304638099e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77745304638099e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77745304638099e-05×40589641000000     		ar = 13296.7720246849m²