Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28210 / 6961
↖ ↑ ↗
← N 80.370788°
W 25.037842°		 ← 102.18 m → N 80.370788°
W 25.032348°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
N 80.369869°
W 25.037842°		 ← 102.19 m →
10 442 m²		 N 80.369869°
W 25.032348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430458068847656 y=0.106224060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430458068847656 × 216)
    floor (0.430458068847656 × 65536)
    floor (28210.5)     		tx = 28210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106224060058594 × 216)
    floor (0.106224060058594 × 65536)
    floor (6961.5)     		ty = 6961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28210 / 6961 ti = "16/28210/6961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28210/6961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28210 ÷ 216
    28210 ÷ 65536     		x = 0.430450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6961 ÷ 216
    6961 ÷ 65536     		y = 0.106216430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.13909912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43699278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106216430664062 × 2 - 1) × π
    0.787567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47421513698958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43699278} λ = -0.43699278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47421513698958))-π/2
    2×atan(11.8723852593533)-π/2
    2×1.48676559932044-π/2
    2.97353119864088-1.57079632675     		φ = 1.40273487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43699278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.037842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40273487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.370788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28210 KachelY 6961 -0.43699278 1.40273487 -25.037842 80.370788
    Oben rechts KachelX + 1 28211 KachelY 6961 -0.43689690 1.40273487 -25.032348 80.370788
    Unten links KachelX 28210 KachelY + 1 6962 -0.43699278 1.40271883 -25.037842 80.369869
    Unten rechts KachelX + 1 28211 KachelY + 1 6962 -0.43689690 1.40271883 -25.032348 80.369869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40273487-1.40271883) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40273487-1.40271883) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43699278--0.43689690) × cos(1.40273487) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167271433721421 × 6371000     		do = 102.178002850503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43699278--0.43689690) × cos(1.40271883) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167287247710452 × 6371000     		du = 102.187662849107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40273487)-sin(1.40271883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167271433721421-0.167287247710452)×R²
    abs(-0.43689690--0.43699278)×1.58139890304165e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.58139890304165e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.58139890304165e-05×40589641000000     		ar = 10442.1495226725m²