Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28210 / 14866
↖ ↑ ↗
← N 69.622685°
W 25.037842°		 ← 212.70 m → N 69.622685°
W 25.032348°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
N 69.620772°
W 25.037842°		 ← 212.72 m →
45 249 m²		 N 69.620772°
W 25.032348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430458068847656 y=0.226844787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430458068847656 × 216)
    floor (0.430458068847656 × 65536)
    floor (28210.5)     		tx = 28210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226844787597656 × 216)
    floor (0.226844787597656 × 65536)
    floor (14866.5)     		ty = 14866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28210 / 14866 ti = "16/28210/14866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28210/14866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28210 ÷ 216
    28210 ÷ 65536     		x = 0.430450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14866 ÷ 216
    14866 ÷ 65536     		y = 0.226837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.13909912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43699278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226837158203125 × 2 - 1) × π
    0.54632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71633275399649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43699278} λ = -0.43699278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71633275399649))-π/2
    2×atan(5.56408613102663)-π/2
    2×1.39297070759639-π/2
    2.78594141519277-1.57079632675     		φ = 1.21514509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43699278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.037842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21514509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.622685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28210 KachelY 14866 -0.43699278 1.21514509 -25.037842 69.622685
    Oben rechts KachelX + 1 28211 KachelY 14866 -0.43689690 1.21514509 -25.032348 69.622685
    Unten links KachelX 28210 KachelY + 1 14867 -0.43699278 1.21511170 -25.037842 69.620772
    Unten rechts KachelX + 1 28211 KachelY + 1 14867 -0.43689690 1.21511170 -25.032348 69.620772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21514509-1.21511170) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21514509-1.21511170) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43699278--0.43689690) × cos(1.21514509) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.348200921378585 × 6371000     		do = 212.699048161579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43699278--0.43689690) × cos(1.21511170) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.348232221635818 × 6371000     		du = 212.718167970034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21514509)-sin(1.21511170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348200921378585-0.348232221635818)×R²
    abs(-0.43689690--0.43699278)×3.13002572324139e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13002572324139e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13002572324139e-05×40589641000000     		ar = 45249.0108412484m²