Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2821 / 5972
↖ ↑ ↗
← S 63.312683°
W 56.030273°		 ← 2 194.63 m → S 63.312683°
W 55.986328°		 →
↑
2 193.92 m
↓
↑
2 193.92 m
↓
S 63.332413°
W 56.030273°		 ← 2 193.12 m →
4 813 183 m²		 S 63.332413°
W 55.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34442138671875 y=0.72906494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34442138671875 × 213)
    floor (0.34442138671875 × 8192)
    floor (2821.5)     		tx = 2821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72906494140625 × 213)
    floor (0.72906494140625 × 8192)
    floor (5972.5)     		ty = 5972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2821 / 5972 ti = "13/2821/5972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2821/5972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2821 ÷ 213
    2821 ÷ 8192     		x = 0.3443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5972 ÷ 213
    5972 ÷ 8192     		y = 0.72900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97791275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97791275} λ = -0.97791275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43887397899561))-π/2
    2×atan(0.237194694574428)-π/2
    2×0.232890777012031-π/2
    0.465781554024061-1.57079632675     		φ = -1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97791275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.030273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2821 KachelY 5972 -0.97791275 -1.10501477 -56.030273 -63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 2822 KachelY 5972 -0.97714576 -1.10501477 -55.986328 -63.312683
    Unten links KachelX 2821 KachelY + 1 5973 -0.97791275 -1.10535913 -56.030273 -63.332413
    Unten rechts KachelX + 1 2822 KachelY + 1 5973 -0.97714576 -1.10535913 -55.986328 -63.332413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10501477--1.10535913) × R
    0.000344360000000155 × 6371000     		dl = 2193.91756000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10501477--1.10535913) × R
    0.000344360000000155 × 6371000     		dr = 2193.91756000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97791275--0.97714576) × cos(-1.10501477) × R
    0.000766990000000023 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 2194.62790971323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97791275--0.97714576) × cos(-1.10535913) × R
    0.000766990000000023 × 0.448813534500879 × 6371000     		du = 2193.12432479979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10501477)-sin(-1.10535913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.448813534500879)×R²
    abs(-0.97714576--0.97791275)×0.000307702236389706×R²
    0.000766990000000023×0.000307702236389706×6371000²
    0.000766990000000023×0.000307702236389706×40589641000000     		ar = 4813183.38567829m²