Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28209 / 6962
↖ ↑ ↗
← N 80.369869°
W 25.043335°		 ← 102.18 m → N 80.369869°
W 25.037842°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
N 80.368950°
W 25.043335°		 ← 102.19 m →
10 442 m²		 N 80.368950°
W 25.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430442810058594 y=0.106239318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430442810058594 × 216)
    floor (0.430442810058594 × 65536)
    floor (28209.5)     		tx = 28209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106239318847656 × 216)
    floor (0.106239318847656 × 65536)
    floor (6962.5)     		ty = 6962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28209 / 6962 ti = "16/28209/6962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28209/6962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28209 ÷ 216
    28209 ÷ 65536     		x = 0.430435180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6962 ÷ 216
    6962 ÷ 65536     		y = 0.106231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430435180664062 × 2 - 1) × π
    -0.139129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43708865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106231689453125 × 2 - 1) × π
    0.78753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47411926319034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43708865} λ = -0.43708865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47411926319034))-π/2
    2×atan(11.8712470632349)-π/2
    2×1.48675758046762-π/2
    2.97351516093524-1.57079632675     		φ = 1.40271883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43708865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.043335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40271883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.369869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28209 KachelY 6962 -0.43708865 1.40271883 -25.043335 80.369869
    Oben rechts KachelX + 1 28210 KachelY 6962 -0.43699278 1.40271883 -25.037842 80.369869
    Unten links KachelX 28209 KachelY + 1 6963 -0.43708865 1.40270279 -25.043335 80.368950
    Unten rechts KachelX + 1 28210 KachelY + 1 6963 -0.43699278 1.40270279 -25.037842 80.368950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40271883-1.40270279) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40271883-1.40270279) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43708865--0.43699278) × cos(1.40271883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167287247710452 × 6371000     		do = 102.177004978502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43708865--0.43699278) × cos(1.40270279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167303061656442 × 6371000     		du = 102.186663943309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40271883)-sin(1.40270279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167287247710452-0.167303061656442)×R²
    abs(-0.43699278--0.43708865)×1.58139459904838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58139459904838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58139459904838e-05×40589641000000     		ar = 10442.047496695m²