Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28209 / 14867
↖ ↑ ↗
← N 69.620772°
W 25.043335°		 ← 212.70 m → N 69.620772°
W 25.037842°		 →
↑
212.66 m
↓
↑
212.66 m
↓
N 69.618860°
W 25.043335°		 ← 212.72 m →
45 235 m²		 N 69.618860°
W 25.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430442810058594 y=0.226860046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430442810058594 × 216)
    floor (0.430442810058594 × 65536)
    floor (28209.5)     		tx = 28209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226860046386719 × 216)
    floor (0.226860046386719 × 65536)
    floor (14867.5)     		ty = 14867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28209 / 14867 ti = "16/28209/14867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28209/14867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28209 ÷ 216
    28209 ÷ 65536     		x = 0.430435180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14867 ÷ 216
    14867 ÷ 65536     		y = 0.226852416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430435180664062 × 2 - 1) × π
    -0.139129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43708865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226852416992188 × 2 - 1) × π
    0.546295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71623688019725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43708865} λ = -0.43708865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71623688019725))-π/2
    2×atan(5.56355270652107)-π/2
    2×1.39295401517361-π/2
    2.78590803034721-1.57079632675     		φ = 1.21511170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43708865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.043335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21511170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.620772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28209 KachelY 14867 -0.43708865 1.21511170 -25.043335 69.620772
    Oben rechts KachelX + 1 28210 KachelY 14867 -0.43699278 1.21511170 -25.037842 69.620772
    Unten links KachelX 28209 KachelY + 1 14868 -0.43708865 1.21507832 -25.043335 69.618860
    Unten rechts KachelX + 1 28210 KachelY + 1 14868 -0.43699278 1.21507832 -25.037842 69.618860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21511170-1.21507832) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dl = 212.663980000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21511170-1.21507832) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dr = 212.663980000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43708865--0.43699278) × cos(1.21511170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348232221635818 × 6371000     		do = 212.695982095082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43708865--0.43699278) × cos(1.21507832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348263512130842 × 6371000     		du = 212.71509394676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21511170)-sin(1.21507832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348232221635818-0.348263512130842)×R²
    abs(-0.43699278--0.43708865)×3.1290495024372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1290495024372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1290495024372e-05×40589641000000     		ar = 45234.8062878252m²