Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28208 / 14894
↖ ↑ ↗
← N 69.569061°
W 25.048828°		 ← 213.21 m → N 69.569061°
W 25.043335°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
N 69.567144°
W 25.048828°		 ← 213.23 m →
45 467 m²		 N 69.567144°
W 25.043335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430427551269531 y=0.227272033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430427551269531 × 216)
    floor (0.430427551269531 × 65536)
    floor (28208.5)     		tx = 28208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227272033691406 × 216)
    floor (0.227272033691406 × 65536)
    floor (14894.5)     		ty = 14894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28208 / 14894 ti = "16/28208/14894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28208/14894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28208 ÷ 216
    28208 ÷ 65536     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14894 ÷ 216
    14894 ÷ 65536     		y = 0.227264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227264404296875 × 2 - 1) × π
    0.54547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71364828761777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71364828761777))-π/2
    2×atan(5.54916955935498)-π/2
    2×1.39250275227797-π/2
    2.78500550455595-1.57079632675     		φ = 1.21420918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21420918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.569061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28208 KachelY 14894 -0.43718452 1.21420918 -25.048828 69.569061
    Oben rechts KachelX + 1 28209 KachelY 14894 -0.43708865 1.21420918 -25.043335 69.569061
    Unten links KachelX 28208 KachelY + 1 14895 -0.43718452 1.21417571 -25.048828 69.567144
    Unten rechts KachelX + 1 28209 KachelY + 1 14895 -0.43708865 1.21417571 -25.043335 69.567144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21420918-1.21417571) × R
    3.34700000002019e-05 × 6371000     		dl = 213.237370001287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21420918-1.21417571) × R
    3.34700000002019e-05 × 6371000     		dr = 213.237370001287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43708865) × cos(1.21420918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349078109434416 × 6371000     		do = 213.212640017258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43708865) × cos(1.21417571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349109473762718 × 6371000     		du = 213.231796965399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21420918)-sin(1.21417571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349078109434416-0.349109473762718)×R²
    abs(-0.43708865--0.43718452)×3.13643283025855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13643283025855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13643283025855e-05×40589641000000     		ar = 45466.9451010722m²