Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28206 / 43680
↖ ↑ ↗
← S 51.289406°
W 25.059814°		 ← 381.98 m → S 51.289406°
W 25.054321°		 →
↑
382.01 m
↓
↑
382.01 m
↓
S 51.292841°
W 25.059814°		 ← 381.95 m →
145 912 m²		 S 51.292841°
W 25.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430397033691406 y=0.666511535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430397033691406 × 216)
    floor (0.430397033691406 × 65536)
    floor (28206.5)     		tx = 28206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666511535644531 × 216)
    floor (0.666511535644531 × 65536)
    floor (43680.5)     		ty = 43680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28206 / 43680 ti = "16/28206/43680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28206/43680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28206 ÷ 216
    28206 ÷ 65536     		x = 0.430389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43680 ÷ 216
    43680 ÷ 65536     		y = 0.66650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.13922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43737627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43737627} λ = -0.43737627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04617489730811))-π/2
    2×atan(0.351278860245987)-π/2
    2×0.337813661209687-π/2
    0.675627322419374-1.57079632675     		φ = -0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43737627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.059814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28206 KachelY 43680 -0.43737627 -0.89516900 -25.059814 -51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 28207 KachelY 43680 -0.43728040 -0.89516900 -25.054321 -51.289406
    Unten links KachelX 28206 KachelY + 1 43681 -0.43737627 -0.89522896 -25.059814 -51.292841
    Unten rechts KachelX + 1 28207 KachelY + 1 43681 -0.43728040 -0.89522896 -25.054321 -51.292841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89516900--0.89522896) × R
    5.995999999997e-05 × 6371000     		dl = 382.005159999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89516900--0.89522896) × R
    5.995999999997e-05 × 6371000     		dr = 382.005159999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43737627--0.43728040) × cos(-0.89516900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 381.97870187508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43737627--0.43728040) × cos(-0.89522896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625340163325745 × 6371000     		du = 381.950123849159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89516900)-sin(-0.89522896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.625340163325745)×R²
    abs(-0.43728040--0.43737627)×4.67887985391435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67887985391435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67887985391435e-05×40589641000000     		ar = 145912.376693277m²