Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28206 / 21539
↖ ↑ ↗
← N 52.365538°
W 25.059814°		 ← 372.96 m → N 52.365538°
W 25.054321°		 →
↑
373.02 m
↓
↑
373.02 m
↓
N 52.362183°
W 25.059814°		 ← 372.99 m →
139 128 m²		 N 52.362183°
W 25.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430397033691406 y=0.328666687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430397033691406 × 216)
    floor (0.430397033691406 × 65536)
    floor (28206.5)     		tx = 28206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328666687011719 × 216)
    floor (0.328666687011719 × 65536)
    floor (21539.5)     		ty = 21539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28206 / 21539 ti = "16/28206/21539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28206/21539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28206 ÷ 216
    28206 ÷ 65536     		x = 0.430389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21539 ÷ 216
    21539 ÷ 65536     		y = 0.328659057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.13922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43737627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328659057617188 × 2 - 1) × π
    0.342681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07656689166722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43737627} λ = -0.43737627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07656689166722))-π/2
    2×atan(2.93458748065919)-π/2
    2×1.24237368613806-π/2
    2.48474737227612-1.57079632675     		φ = 0.91395105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43737627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.059814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91395105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.365538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28206 KachelY 21539 -0.43737627 0.91395105 -25.059814 52.365538
    Oben rechts KachelX + 1 28207 KachelY 21539 -0.43728040 0.91395105 -25.054321 52.365538
    Unten links KachelX 28206 KachelY + 1 21540 -0.43737627 0.91389250 -25.059814 52.362183
    Unten rechts KachelX + 1 28207 KachelY + 1 21540 -0.43728040 0.91389250 -25.054321 52.362183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91395105-0.91389250) × R
    5.85499999999906e-05 × 6371000     		dl = 373.02204999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91395105-0.91389250) × R
    5.85499999999906e-05 × 6371000     		dr = 373.02204999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43737627--0.43728040) × cos(0.91395105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61062159833043 × 6371000     		do = 372.960204358071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43737627--0.43728040) × cos(0.91389250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610667964346794 × 6371000     		du = 372.98852415381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91395105)-sin(0.91389250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61062159833043-0.610667964346794)×R²
    abs(-0.43728040--0.43737627)×4.63660163640967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63660163640967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63660163640967e-05×40589641000000     		ar = 139127.661991957m²