Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28203 / 8171
↖ ↑ ↗
← N 79.192985°
W 25.076294°		 ← 114.52 m → N 79.192985°
W 25.070801°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
N 79.191956°
W 25.076294°		 ← 114.53 m →
13 112 m²		 N 79.191956°
W 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430351257324219 y=0.124687194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430351257324219 × 216)
    floor (0.430351257324219 × 65536)
    floor (28203.5)     		tx = 28203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124687194824219 × 216)
    floor (0.124687194824219 × 65536)
    floor (8171.5)     		ty = 8171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28203 / 8171 ti = "16/28203/8171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28203/8171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28203 ÷ 216
    28203 ÷ 65536     		x = 0.430343627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8171 ÷ 216
    8171 ÷ 65536     		y = 0.124679565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430343627929688 × 2 - 1) × π
    -0.139312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43766389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124679565429688 × 2 - 1) × π
    0.750640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35820783990904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43766389} λ = -0.43766389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35820783990904))-π/2
    2×atan(10.5719877699686)-π/2
    2×1.47648733461558-π/2
    2.95297466923117-1.57079632675     		φ = 1.38217834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43766389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.076294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38217834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.192985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28203 KachelY 8171 -0.43766389 1.38217834 -25.076294 79.192985
    Oben rechts KachelX + 1 28204 KachelY 8171 -0.43756802 1.38217834 -25.070801 79.192985
    Unten links KachelX 28203 KachelY + 1 8172 -0.43766389 1.38216037 -25.076294 79.191956
    Unten rechts KachelX + 1 28204 KachelY + 1 8172 -0.43756802 1.38216037 -25.070801 79.191956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38217834-1.38216037) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38217834-1.38216037) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43766389--0.43756802) × cos(1.38217834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18750157223163 × 6371000     		do = 114.523667174849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43766389--0.43756802) × cos(1.38216037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187519223490875 × 6371000     		du = 114.534448348121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38217834)-sin(1.38216037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18750157223163-0.187519223490875)×R²
    abs(-0.43756802--0.43766389)×1.7651259244994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7651259244994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7651259244994e-05×40589641000000     		ar = 13112.0733474982m²