Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28203 / 43681
↖ ↑ ↗
← S 51.292841°
W 25.076294°		 ← 381.95 m → S 51.292841°
W 25.070801°		 →
↑
381.94 m
↓
↑
381.94 m
↓
S 51.296276°
W 25.076294°		 ← 381.92 m →
145 877 m²		 S 51.296276°
W 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430351257324219 y=0.666526794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430351257324219 × 216)
    floor (0.430351257324219 × 65536)
    floor (28203.5)     		tx = 28203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666526794433594 × 216)
    floor (0.666526794433594 × 65536)
    floor (43681.5)     		ty = 43681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28203 / 43681 ti = "16/28203/43681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28203/43681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28203 ÷ 216
    28203 ÷ 65536     		x = 0.430343627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43681 ÷ 216
    43681 ÷ 65536     		y = 0.666519165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430343627929688 × 2 - 1) × π
    -0.139312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43766389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666519165039062 × 2 - 1) × π
    -0.333038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04627077110735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43766389} λ = -0.43766389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04627077110735))-π/2
    2×atan(0.351245183421451)-π/2
    2×0.337783683219688-π/2
    0.675567366439376-1.57079632675     		φ = -0.89522896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43766389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.076294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89522896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.292841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28203 KachelY 43681 -0.43766389 -0.89522896 -25.076294 -51.292841
    Oben rechts KachelX + 1 28204 KachelY 43681 -0.43756802 -0.89522896 -25.070801 -51.292841
    Unten links KachelX 28203 KachelY + 1 43682 -0.43766389 -0.89528891 -25.076294 -51.296276
    Unten rechts KachelX + 1 28204 KachelY + 1 43682 -0.43756802 -0.89528891 -25.070801 -51.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89522896--0.89528891) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dl = 381.941450000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89522896--0.89528891) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dr = 381.941450000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43766389--0.43756802) × cos(-0.89522896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625340163325745 × 6371000     		do = 381.950123849159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43766389--0.43756802) × cos(-0.89528891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62529338008288 × 6371000     		du = 381.921549216576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89522896)-sin(-0.89528891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625340163325745-0.62529338008288)×R²
    abs(-0.43756802--0.43766389)×4.67832428655557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67832428655557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67832428655557e-05×40589641000000     		ar = 145877.127256253m²