Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28202 / 14908
↖ ↑ ↗
← N 69.542199°
W 25.081787°		 ← 213.50 m → N 69.542199°
W 25.076294°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
N 69.540279°
W 25.081787°		 ← 213.52 m →
45 583 m²		 N 69.540279°
W 25.076294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430335998535156 y=0.227485656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430335998535156 × 216)
    floor (0.430335998535156 × 65536)
    floor (28202.5)     		tx = 28202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227485656738281 × 216)
    floor (0.227485656738281 × 65536)
    floor (14908.5)     		ty = 14908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28202 / 14908 ti = "16/28202/14908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28202/14908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28202 ÷ 216
    28202 ÷ 65536     		x = 0.430328369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14908 ÷ 216
    14908 ÷ 65536     		y = 0.22747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.13934326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43775977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22747802734375 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43775977} λ = -0.43775977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71230605442841))-π/2
    2×atan(5.54172627622733)-π/2
    2×1.39226833277776-π/2
    2.78453666555552-1.57079632675     		φ = 1.21374034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43775977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.081787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21374034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.542199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28202 KachelY 14908 -0.43775977 1.21374034 -25.081787 69.542199
    Oben rechts KachelX + 1 28203 KachelY 14908 -0.43766389 1.21374034 -25.076294 69.542199
    Unten links KachelX 28202 KachelY + 1 14909 -0.43775977 1.21370683 -25.081787 69.540279
    Unten rechts KachelX + 1 28203 KachelY + 1 14909 -0.43766389 1.21370683 -25.076294 69.540279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21374034-1.21370683) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21374034-1.21370683) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43775977--0.43766389) × cos(1.21374034) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349517418030748 × 6371000     		do = 213.503232089844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43775977--0.43766389) × cos(1.21370683) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		du = 213.522410580567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21374034)-sin(1.21370683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349517418030748-0.349548814354324)×R²
    abs(-0.43766389--0.43775977)×3.13963235760162e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13963235760162e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13963235760162e-05×40589641000000     		ar = 45583.3240943334m²