Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28202 / 14743
↖ ↑ ↗
← N 69.856654°
W 25.081787°		 ← 210.36 m → N 69.856654°
W 25.076294°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
N 69.854762°
W 25.081787°		 ← 210.38 m →
44 255 m²		 N 69.854762°
W 25.076294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430335998535156 y=0.224967956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430335998535156 × 216)
    floor (0.430335998535156 × 65536)
    floor (28202.5)     		tx = 28202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224967956542969 × 216)
    floor (0.224967956542969 × 65536)
    floor (14743.5)     		ty = 14743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28202 / 14743 ti = "16/28202/14743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28202/14743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28202 ÷ 216
    28202 ÷ 65536     		x = 0.430328369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14743 ÷ 216
    14743 ÷ 65536     		y = 0.224960327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.13934326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43775977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224960327148438 × 2 - 1) × π
    0.550079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72812523130302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43775977} λ = -0.43775977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72812523130302))-π/2
    2×atan(5.6300888936243)-π/2
    2×1.39501247148031-π/2
    2.79002494296062-1.57079632675     		φ = 1.21922862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43775977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.081787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21922862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.856654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28202 KachelY 14743 -0.43775977 1.21922862 -25.081787 69.856654
    Oben rechts KachelX + 1 28203 KachelY 14743 -0.43766389 1.21922862 -25.076294 69.856654
    Unten links KachelX 28202 KachelY + 1 14744 -0.43775977 1.21919560 -25.081787 69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 28203 KachelY + 1 14744 -0.43766389 1.21919560 -25.076294 69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21922862-1.21919560) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dl = 210.37042000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21922862-1.21919560) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dr = 210.37042000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43775977--0.43766389) × cos(1.21922862) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344370046466423 × 6371000     		do = 210.358952551667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43775977--0.43766389) × cos(1.21919560) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 210.377889015223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21922862)-sin(1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344370046466423-0.344401046577212)×R²
    abs(-0.43766389--0.43775977)×3.10001107887703e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10001107887703e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10001107887703e-05×40589641000000     		ar = 44255.2930388686m²