Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 282 / 806
↖ ↑ ↗
← S 71.300793°
W 80.859375°		 ← 12.533 km → S 71.300793°
W 80.507812°		 →
↑
12.497 km
↓
↑
12.497 km
↓
S 71.413177°
W 80.859375°		 ← 12.460 km →
156.163 km²		 S 71.413177°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27587890625 y=0.78759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27587890625 × 210)
    floor (0.27587890625 × 1024)
    floor (282.5)     		tx = 282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78759765625 × 210)
    floor (0.78759765625 × 1024)
    floor (806.5)     		ty = 806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 282 / 806 ti = "10/282/806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/282/806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 282 ÷ 210
    282 ÷ 1024     		x = 0.275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 806 ÷ 210
    806 ÷ 1024     		y = 0.787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275390625 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41126232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787109375 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41126232} λ = -1.41126232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80396140650195))-π/2
    2×atan(0.164645367416431)-π/2
    2×0.163181365569021-π/2
    0.326362731138042-1.57079632675     		φ = -1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41126232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 282 KachelY 806 -1.41126232 -1.24443360 -80.859375 -71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 283 KachelY 806 -1.40512640 -1.24443360 -80.507812 -71.300793
    Unten links KachelX 282 KachelY + 1 807 -1.41126232 -1.24639507 -80.859375 -71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 283 KachelY + 1 807 -1.40512640 -1.24639507 -80.507812 -71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24443360--1.24639507) × R
    0.00196146999999991 × 6371000     		dl = 12496.5253699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24443360--1.24639507) × R
    0.00196146999999991 × 6371000     		dr = 12496.5253699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41126232--1.40512640) × cos(-1.24443360) × R
    0.00613591999999996 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 12532.8732214575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41126232--1.40512640) × cos(-1.24639507) × R
    0.00613591999999996 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 12460.2189319353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24443360)-sin(-1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.40512640--1.41126232)×0.00185854878975356×R²
    0.00613591999999996×0.00185854878975356×6371000²
    0.00613591999999996×0.00185854878975356×40589641000000     		ar = 156163455.152935m²