Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 282 / 116
↖ ↑ ↗
← N 82.940327°
W130.429688°		 ← 2 402.26 m → N 82.940327°
W130.253906°		 →
↑
2 405.94 m
↓
↑
2 405.94 m
↓
N 82.918690°
W130.429688°		 ← 2 409.58 m →
5 788 513 m²		 N 82.918690°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137939453125 y=0.056884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137939453125 × 211)
    floor (0.137939453125 × 2048)
    floor (282.5)     		tx = 282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.056884765625 × 211)
    floor (0.056884765625 × 2048)
    floor (116.5)     		ty = 116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 282 / 116 ti = "11/282/116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/282/116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 282 ÷ 211
    282 ÷ 2048     		x = 0.1376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116 ÷ 211
    116 ÷ 2048     		y = 0.056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    -0.724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27642749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.056640625 × 2 - 1) × π
    0.88671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7857091107207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27642749} λ = -2.27642749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7857091107207))-π/2
    2×atan(16.2113094151975)-π/2
    2×1.50918905607739-π/2
    3.01837811215479-1.57079632675     		φ = 1.44758179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27642749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44758179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.940327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 282 KachelY 116 -2.27642749 1.44758179 -130.429688 82.940327
    Oben rechts KachelX + 1 283 KachelY 116 -2.27335953 1.44758179 -130.253906 82.940327
    Unten links KachelX 282 KachelY + 1 117 -2.27642749 1.44720415 -130.429688 82.918690
    Unten rechts KachelX + 1 283 KachelY + 1 117 -2.27335953 1.44720415 -130.253906 82.918690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44758179-1.44720415) × R
    0.000377640000000179 × 6371000     		dl = 2405.94444000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44758179-1.44720415) × R
    0.000377640000000179 × 6371000     		dr = 2405.94444000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27642749--2.27335953) × cos(1.44758179) × R
    0.00306796000000009 × 0.122903003175518 × 6371000     		do = 2402.25880135214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27642749--2.27335953) × cos(1.44720415) × R
    0.00306796000000009 × 0.123277771396135 × 6371000     		du = 2409.58401093355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44758179)-sin(1.44720415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122903003175518-0.123277771396135)×R²
    abs(-2.27335953--2.27642749)×0.000374768220617425×R²
    0.00306796000000009×0.000374768220617425×6371000²
    0.00306796000000009×0.000374768220617425×40589641000000     		ar = 5788513.29898365m²