Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28199 / 8275
↖ ↑ ↗
← N 79.085342°
W 25.098267°		 ← 115.66 m → N 79.085342°
W 25.092773°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
N 79.084302°
W 25.098267°		 ← 115.67 m →
13 375 m²		 N 79.084302°
W 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430290222167969 y=0.126274108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430290222167969 × 216)
    floor (0.430290222167969 × 65536)
    floor (28199.5)     		tx = 28199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126274108886719 × 216)
    floor (0.126274108886719 × 65536)
    floor (8275.5)     		ty = 8275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28199 / 8275 ti = "16/28199/8275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28199/8275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28199 ÷ 216
    28199 ÷ 65536     		x = 0.430282592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8275 ÷ 216
    8275 ÷ 65536     		y = 0.126266479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430282592773438 × 2 - 1) × π
    -0.139434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43804739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126266479492188 × 2 - 1) × π
    0.747467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34823696478807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43804739} λ = -0.43804739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34823696478807))-π/2
    2×atan(10.4670995826254)-π/2
    2×1.4755479651958-π/2
    2.9510959303916-1.57079632675     		φ = 1.38029960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43804739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.098267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38029960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.085342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28199 KachelY 8275 -0.43804739 1.38029960 -25.098267 79.085342
    Oben rechts KachelX + 1 28200 KachelY 8275 -0.43795151 1.38029960 -25.092773 79.085342
    Unten links KachelX 28199 KachelY + 1 8276 -0.43804739 1.38028145 -25.098267 79.084302
    Unten rechts KachelX + 1 28200 KachelY + 1 8276 -0.43795151 1.38028145 -25.092773 79.084302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38029960-1.38028145) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38029960-1.38028145) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43804739--0.43795151) × cos(1.38029960) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.18934665947344 × 6371000     		do = 115.662687172398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43804739--0.43795151) × cos(1.38028145) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.189364481114245 × 6371000     		du = 115.67357354806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38029960)-sin(1.38028145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18934665947344-0.189364481114245)×R²
    abs(-0.43795151--0.43804739)×1.7821640805521e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.7821640805521e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.7821640805521e-05×40589641000000     		ar = 13375.1281026109m²