Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28199 / 37609
↖ ↑ ↗
← N 60.617976°
W102.549133°		 ← 149.85 m → N 60.617976°
W102.546386°		 →
↑
149.85 m
↓
↑
149.85 m
↓
N 60.616629°
W102.549133°		 ← 149.86 m →
22 455 m²		 N 60.616629°
W102.546386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215145111083984 y=0.286937713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215145111083984 × 217)
    floor (0.215145111083984 × 131072)
    floor (28199.5)     		tx = 28199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286937713623047 × 217)
    floor (0.286937713623047 × 131072)
    floor (37609.5)     		ty = 37609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28199 / 37609 ti = "17/28199/37609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28199/37609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28199 ÷ 217
    28199 ÷ 131072     		x = 0.215141296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37609 ÷ 217
    37609 ÷ 131072     		y = 0.286933898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215141296386719 × 2 - 1) × π
    -0.569717407226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.78982002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286933898925781 × 2 - 1) × π
    0.426132202148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.33873379568931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78982002} λ = -1.78982002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33873379568931))-π/2
    2×atan(3.81421087621072)-π/2
    2×1.31438979725084-π/2
    2.62877959450167-1.57079632675     		φ = 1.05798327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78982002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.549133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05798327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.617976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28199 KachelY 37609 -1.78982002 1.05798327 -102.549133 60.617976
    Oben rechts KachelX + 1 28200 KachelY 37609 -1.78977208 1.05798327 -102.546386 60.617976
    Unten links KachelX 28199 KachelY + 1 37610 -1.78982002 1.05795975 -102.549133 60.616629
    Unten rechts KachelX + 1 28200 KachelY + 1 37610 -1.78977208 1.05795975 -102.546386 60.616629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05798327-1.05795975) × R
    2.35200000000546e-05 × 6371000     		dl = 149.845920000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05798327-1.05795975) × R
    2.35200000000546e-05 × 6371000     		dr = 149.845920000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78982002--1.78977208) × cos(1.05798327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.49063039196996 × 6371000     		do = 149.851150533817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78982002--1.78977208) × cos(1.05795975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.490650886404579 × 6371000     		du = 149.857410061676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05798327)-sin(1.05795975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49063039196996-0.490650886404579)×R²
    abs(-1.78977208--1.78982002)×2.04944346188229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04944346188229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04944346188229e-05×40589641000000     		ar = 22455.0524981532m²