Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28199 / 14744
↖ ↑ ↗
← N 69.854762°
W 25.098267°		 ← 210.38 m → N 69.854762°
W 25.092773°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
N 69.852870°
W 25.098267°		 ← 210.40 m →
44 259 m²		 N 69.852870°
W 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430290222167969 y=0.224983215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430290222167969 × 216)
    floor (0.430290222167969 × 65536)
    floor (28199.5)     		tx = 28199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224983215332031 × 216)
    floor (0.224983215332031 × 65536)
    floor (14744.5)     		ty = 14744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28199 / 14744 ti = "16/28199/14744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28199/14744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28199 ÷ 216
    28199 ÷ 65536     		x = 0.430282592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14744 ÷ 216
    14744 ÷ 65536     		y = 0.2249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430282592773438 × 2 - 1) × π
    -0.139434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43804739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2249755859375 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72802935750378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43804739} λ = -0.43804739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72802935750378))-π/2
    2×atan(5.62954914148647)-π/2
    2×1.39499596270483-π/2
    2.78999192540966-1.57079632675     		φ = 1.21919560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43804739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.098267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21919560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.854762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28199 KachelY 14744 -0.43804739 1.21919560 -25.098267 69.854762
    Oben rechts KachelX + 1 28200 KachelY 14744 -0.43795151 1.21919560 -25.092773 69.854762
    Unten links KachelX 28199 KachelY + 1 14745 -0.43804739 1.21916258 -25.098267 69.852870
    Unten rechts KachelX + 1 28200 KachelY + 1 14745 -0.43795151 1.21916258 -25.092773 69.852870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21919560-1.21916258) × R
    3.30199999998282e-05 × 6371000     		dl = 210.370419998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21919560-1.21916258) × R
    3.30199999998282e-05 × 6371000     		dr = 210.370419998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43804739--0.43795151) × cos(1.21919560) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344401046577212 × 6371000     		do = 210.377889015223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43804739--0.43795151) × cos(1.21916258) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.344432046312493 × 6371000     		du = 210.396825249399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21919560)-sin(1.21916258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344401046577212-0.344432046312493)×R²
    abs(-0.43795151--0.43804739)×3.09997352811453e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.09997352811453e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.09997352811453e-05×40589641000000     		ar = 44259.2766863555m²