Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28197 / 43489
↖ ↑ ↗
← S 50.628558°
W 25.109253°		 ← 387.49 m → S 50.628558°
W 25.103760°		 →
↑
387.42 m
↓
↑
387.42 m
↓
S 50.632042°
W 25.109253°		 ← 387.46 m →
150 116 m²		 S 50.632042°
W 25.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430259704589844 y=0.663597106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430259704589844 × 216)
    floor (0.430259704589844 × 65536)
    floor (28197.5)     		tx = 28197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663597106933594 × 216)
    floor (0.663597106933594 × 65536)
    floor (43489.5)     		ty = 43489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28197 / 43489 ti = "16/28197/43489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28197/43489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28197 ÷ 216
    28197 ÷ 65536     		x = 0.430252075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43489 ÷ 216
    43489 ÷ 65536     		y = 0.663589477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430252075195312 × 2 - 1) × π
    -0.139495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43823914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663589477539062 × 2 - 1) × π
    -0.327178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02786300165324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43823914} λ = -0.43823914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02786300165324))-π/2
    2×atan(0.357770699617555)-π/2
    2×0.343580649224086-π/2
    0.687161298448173-1.57079632675     		φ = -0.88363503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43823914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.109253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88363503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.628558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28197 KachelY 43489 -0.43823914 -0.88363503 -25.109253 -50.628558
    Oben rechts KachelX + 1 28198 KachelY 43489 -0.43814326 -0.88363503 -25.103760 -50.628558
    Unten links KachelX 28197 KachelY + 1 43490 -0.43823914 -0.88369584 -25.109253 -50.632042
    Unten rechts KachelX + 1 28198 KachelY + 1 43490 -0.43814326 -0.88369584 -25.103760 -50.632042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88363503--0.88369584) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dl = 387.420510000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88363503--0.88369584) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dr = 387.420510000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43823914--0.43814326) × cos(-0.88363503) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.634345281945979 × 6371000     		do = 387.490754307913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43823914--0.43814326) × cos(-0.88369584) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.634298271612058 × 6371000     		du = 387.462037975862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88363503)-sin(-0.88369584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634345281945979-0.634298271612058)×R²
    abs(-0.43814326--0.43823914)×4.70103339207384e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70103339207384e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70103339207384e-05×40589641000000     		ar = 150116.303052655m²