Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28195 / 9188
↖ ↑ ↗
← N 78.093763°
W 25.120239°		 ← 126.01 m → N 78.093763°
W 25.114746°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 78.092630°
W 25.120239°		 ← 126.02 m →
15 881 m²		 N 78.092630°
W 25.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430229187011719 y=0.140205383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430229187011719 × 216)
    floor (0.430229187011719 × 65536)
    floor (28195.5)     		tx = 28195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140205383300781 × 216)
    floor (0.140205383300781 × 65536)
    floor (9188.5)     		ty = 9188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28195 / 9188 ti = "16/28195/9188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28195/9188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28195 ÷ 216
    28195 ÷ 65536     		x = 0.430221557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9188 ÷ 216
    9188 ÷ 65536     		y = 0.14019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430221557617188 × 2 - 1) × π
    -0.139556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43843088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14019775390625 × 2 - 1) × π
    0.7196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26070418608185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43843088} λ = -0.43843088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26070418608185))-π/2
    2×atan(9.58983982135627)-π/2
    2×1.46689481043219-π/2
    2.93378962086438-1.57079632675     		φ = 1.36299329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43843088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.120239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36299329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.093763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28195 KachelY 9188 -0.43843088 1.36299329 -25.120239 78.093763
    Oben rechts KachelX + 1 28196 KachelY 9188 -0.43833501 1.36299329 -25.114746 78.093763
    Unten links KachelX 28195 KachelY + 1 9189 -0.43843088 1.36297351 -25.120239 78.092630
    Unten rechts KachelX + 1 28196 KachelY + 1 9189 -0.43833501 1.36297351 -25.114746 78.092630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36299329-1.36297351) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36299329-1.36297351) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43843088--0.43833501) × cos(1.36299329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206310700560491 × 6371000     		do = 126.012052722477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43843088--0.43833501) × cos(1.36297351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206330054983749 × 6371000     		du = 126.023874167499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36299329)-sin(1.36297351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206310700560491-0.206330054983749)×R²
    abs(-0.43833501--0.43843088)×1.93544232577059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93544232577059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93544232577059e-05×40589641000000     		ar = 15880.5796048851m²