Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28193 / 14812
↖ ↑ ↗
← N 69.725722°
W 25.131225°		 ← 211.65 m → N 69.725722°
W 25.125733°		 →
↑
211.64 m
↓
↑
211.64 m
↓
N 69.723819°
W 25.131225°		 ← 211.67 m →
44 796 m²		 N 69.723819°
W 25.125733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430198669433594 y=0.226020812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430198669433594 × 216)
    floor (0.430198669433594 × 65536)
    floor (28193.5)     		tx = 28193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226020812988281 × 216)
    floor (0.226020812988281 × 65536)
    floor (14812.5)     		ty = 14812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28193 / 14812 ti = "16/28193/14812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28193/14812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28193 ÷ 216
    28193 ÷ 65536     		x = 0.430191040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14812 ÷ 216
    14812 ÷ 65536     		y = 0.22601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430191040039062 × 2 - 1) × π
    -0.139617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43862263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22601318359375 × 2 - 1) × π
    0.5479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72150993915546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43862263} λ = -0.43862263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72150993915546))-π/2
    2×atan(5.592967131803)-π/2
    2×1.39386987375519-π/2
    2.78773974751038-1.57079632675     		φ = 1.21694342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43862263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.131225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21694342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.725722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28193 KachelY 14812 -0.43862263 1.21694342 -25.131225 69.725722
    Oben rechts KachelX + 1 28194 KachelY 14812 -0.43852676 1.21694342 -25.125733 69.725722
    Unten links KachelX 28193 KachelY + 1 14813 -0.43862263 1.21691020 -25.131225 69.723819
    Unten rechts KachelX + 1 28194 KachelY + 1 14813 -0.43852676 1.21691020 -25.125733 69.723819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21694342-1.21691020) × R
    3.3219999999945e-05 × 6371000     		dl = 211.644619999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21694342-1.21691020) × R
    3.3219999999945e-05 × 6371000     		dr = 211.644619999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43862263--0.43852676) × cos(1.21694342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346514568871904 × 6371000     		do = 211.646860793777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43862263--0.43852676) × cos(1.21691020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34654573052199 × 6371000     		du = 211.665893948543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21694342)-sin(1.21691020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346514568871904-0.34654573052199)×R²
    abs(-0.43852676--0.43862263)×3.11616500857093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11616500857093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11616500857093e-05×40589641000000     		ar = 44795.9335634014m²