Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28192 / 43488
↖ ↑ ↗
← S 50.625073°
W 25.136719°		 ← 387.52 m → S 50.625073°
W 25.131225°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
S 50.628558°
W 25.136719°		 ← 387.49 m →
150 152 m²		 S 50.628558°
W 25.131225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430183410644531 y=0.663581848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430183410644531 × 216)
    floor (0.430183410644531 × 65536)
    floor (28192.5)     		tx = 28192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663581848144531 × 216)
    floor (0.663581848144531 × 65536)
    floor (43488.5)     		ty = 43488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28192 / 43488 ti = "16/28192/43488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28192/43488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28192 ÷ 216
    28192 ÷ 65536     		x = 0.43017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43488 ÷ 216
    43488 ÷ 65536     		y = 0.66357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66357421875 × 2 - 1) × π
    -0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43871851} λ = -0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.027767127854))-π/2
    2×atan(0.357805002098112)-π/2
    2×0.34361105889713-π/2
    0.68722211779426-1.57079632675     		φ = -0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28192 KachelY 43488 -0.43871851 -0.88357421 -25.136719 -50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 28193 KachelY 43488 -0.43862263 -0.88357421 -25.131225 -50.625073
    Unten links KachelX 28192 KachelY + 1 43489 -0.43871851 -0.88363503 -25.136719 -50.628558
    Unten rechts KachelX + 1 28193 KachelY + 1 43489 -0.43862263 -0.88363503 -25.131225 -50.628558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88357421--0.88363503) × R
    6.08199999999615e-05 × 6371000     		dl = 387.484219999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88357421--0.88363503) × R
    6.08199999999615e-05 × 6371000     		dr = 387.484219999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43871851--0.43862263) × cos(-0.88357421) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 387.519473928805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43871851--0.43862263) × cos(-0.88363503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634345281945979 × 6371000     		du = 387.490754307689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88357421)-sin(-0.88363503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.634345281945979)×R²
    abs(-0.43862263--0.43871851)×4.70157183157793e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70157183157793e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70157183157793e-05×40589641000000     		ar = 150152.116936242m²