Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28191 / 14814
↖ ↑ ↗
← N 69.721915°
W 25.142212°		 ← 211.68 m → N 69.721915°
W 25.136719°		 →
↑
211.71 m
↓
↑
211.71 m
↓
N 69.720011°
W 25.142212°		 ← 211.70 m →
44 817 m²		 N 69.720011°
W 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430168151855469 y=0.226051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430168151855469 × 216)
    floor (0.430168151855469 × 65536)
    floor (28191.5)     		tx = 28191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226051330566406 × 216)
    floor (0.226051330566406 × 65536)
    floor (14814.5)     		ty = 14814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28191 / 14814 ti = "16/28191/14814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28191/14814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28191 ÷ 216
    28191 ÷ 65536     		x = 0.430160522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14814 ÷ 216
    14814 ÷ 65536     		y = 0.226043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430160522460938 × 2 - 1) × π
    -0.139678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43881438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226043701171875 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72131819155698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43881438} λ = -0.43881438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72131819155698))-π/2
    2×atan(5.59189479659923)-π/2
    2×1.39383664909914-π/2
    2.78767329819827-1.57079632675     		φ = 1.21687697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43881438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21687697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.721915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28191 KachelY 14814 -0.43881438 1.21687697 -25.142212 69.721915
    Oben rechts KachelX + 1 28192 KachelY 14814 -0.43871851 1.21687697 -25.136719 69.721915
    Unten links KachelX 28191 KachelY + 1 14815 -0.43881438 1.21684374 -25.142212 69.720011
    Unten rechts KachelX + 1 28192 KachelY + 1 14815 -0.43871851 1.21684374 -25.136719 69.720011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21687697-1.21684374) × R
    3.32299999998842e-05 × 6371000     		dl = 211.708329999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21687697-1.21684374) × R
    3.32299999998842e-05 × 6371000     		dr = 211.708329999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43881438--0.43871851) × cos(1.21687697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346576901169855 × 6371000     		do = 211.684932599041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43881438--0.43871851) × cos(1.21684374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346608071435017 × 6371000     		du = 211.70397101579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21687697)-sin(1.21684374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346576901169855-0.346608071435017)×R²
    abs(-0.43871851--0.43881438)×3.11702651628054e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11702651628054e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11702651628054e-05×40589641000000     		ar = 44817.4788662912m²