Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2819 / 5964
↖ ↑ ↗
← S 63.154355°
W 56.118164°		 ← 2 206.68 m → S 63.154355°
W 56.074219°		 →
↑
2 205.90 m
↓
↑
2 205.90 m
↓
S 63.174194°
W 56.118164°		 ← 2 205.17 m →
4 866 048 m²		 S 63.174194°
W 56.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34417724609375 y=0.72808837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34417724609375 × 213)
    floor (0.34417724609375 × 8192)
    floor (2819.5)     		tx = 2819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72808837890625 × 213)
    floor (0.72808837890625 × 8192)
    floor (5964.5)     		ty = 5964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2819 / 5964 ti = "13/2819/5964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2819/5964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2819 ÷ 213
    2819 ÷ 8192     		x = 0.3441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5964 ÷ 213
    5964 ÷ 8192     		y = 0.72802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97944673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72802734375 × 2 - 1) × π
    -0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97944673} λ = -0.97944673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43273805584424))-π/2
    2×atan(0.238654577275957)-π/2
    2×0.234272445829435-π/2
    0.468544891658871-1.57079632675     		φ = -1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97944673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2819 KachelY 5964 -0.97944673 -1.10225144 -56.118164 -63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 2820 KachelY 5964 -0.97867974 -1.10225144 -56.074219 -63.154355
    Unten links KachelX 2819 KachelY + 1 5965 -0.97944673 -1.10259768 -56.118164 -63.174194
    Unten rechts KachelX + 1 2820 KachelY + 1 5965 -0.97867974 -1.10259768 -56.074219 -63.174194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10225144--1.10259768) × R
    0.000346239999999831 × 6371000     		dl = 2205.89503999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10225144--1.10259768) × R
    0.000346239999999831 × 6371000     		dr = 2205.89503999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97944673--0.97867974) × cos(-1.10225144) × R
    0.000766990000000023 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 2206.68404602513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97944673--0.97867974) × cos(-1.10259768) × R
    0.000766990000000023 × 0.451279522074995 × 6371000     		du = 2205.17435653393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10225144)-sin(-1.10259768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.451279522074995)×R²
    abs(-0.97867974--0.97944673)×0.000308951512179079×R²
    0.000766990000000023×0.000308951512179079×6371000²
    0.000766990000000023×0.000308951512179079×40589641000000     		ar = 4866048.33230242m²