Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2819 / 5963
↖ ↑ ↗
← S 63.134503°
W 56.118164°		 ← 2 208.19 m → S 63.134503°
W 56.074219°		 →
↑
2 207.49 m
↓
↑
2 207.49 m
↓
S 63.154355°
W 56.118164°		 ← 2 206.68 m →
4 872 895 m²		 S 63.154355°
W 56.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34417724609375 y=0.72796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34417724609375 × 213)
    floor (0.34417724609375 × 8192)
    floor (2819.5)     		tx = 2819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72796630859375 × 213)
    floor (0.72796630859375 × 8192)
    floor (5963.5)     		ty = 5963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2819 / 5963 ti = "13/2819/5963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2819/5963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2819 ÷ 213
    2819 ÷ 8192     		x = 0.3441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5963 ÷ 213
    5963 ÷ 8192     		y = 0.7279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97944673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43197106545032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97944673} λ = -0.97944673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43197106545032))-π/2
    2×atan(0.238837693259317)-π/2
    2×0.234445687108516-π/2
    0.468891374217032-1.57079632675     		φ = -1.10190495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97944673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10190495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.134503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2819 KachelY 5963 -0.97944673 -1.10190495 -56.118164 -63.134503
    Oben rechts KachelX + 1 2820 KachelY 5963 -0.97867974 -1.10190495 -56.074219 -63.134503
    Unten links KachelX 2819 KachelY + 1 5964 -0.97944673 -1.10225144 -56.118164 -63.154355
    Unten rechts KachelX + 1 2820 KachelY + 1 5964 -0.97867974 -1.10225144 -56.074219 -63.154355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10190495--1.10225144) × R
    0.000346490000000088 × 6371000     		dl = 2207.48779000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10190495--1.10225144) × R
    0.000346490000000088 × 6371000     		dr = 2207.48779000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97944673--0.97867974) × cos(-1.10190495) × R
    0.000766990000000023 × 0.451897593979431 × 6371000     		do = 2208.1945607477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97944673--0.97867974) × cos(-1.10225144) × R
    0.000766990000000023 × 0.451588473587174 × 6371000     		du = 2206.68404602513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10190495)-sin(-1.10225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451897593979431-0.451588473587174)×R²
    abs(-0.97867974--0.97944673)×0.000309120392257556×R²
    0.000766990000000023×0.000309120392257556×6371000²
    0.000766990000000023×0.000309120392257556×40589641000000     		ar = 4872895.35814619m²