Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28189 / 8098
↖ ↑ ↗
← N 79.267916°
W 25.153198°		 ← 113.75 m → N 79.267916°
W 25.147705°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 79.266893°
W 25.153198°		 ← 113.76 m →
12 944 m²		 N 79.266893°
W 25.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430137634277344 y=0.123573303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430137634277344 × 216)
    floor (0.430137634277344 × 65536)
    floor (28189.5)     		tx = 28189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123573303222656 × 216)
    floor (0.123573303222656 × 65536)
    floor (8098.5)     		ty = 8098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28189 / 8098 ti = "16/28189/8098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28189/8098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28189 ÷ 216
    28189 ÷ 65536     		x = 0.430130004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8098 ÷ 216
    8098 ÷ 65536     		y = 0.123565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430130004882812 × 2 - 1) × π
    -0.139739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43900613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123565673828125 × 2 - 1) × π
    0.75286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36520662725357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43900613} λ = -0.43900613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36520662725357))-π/2
    2×atan(10.6462383932561)-π/2
    2×1.47714122601977-π/2
    2.95428245203953-1.57079632675     		φ = 1.38348613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43900613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.153198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38348613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.267916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28189 KachelY 8098 -0.43900613 1.38348613 -25.153198 79.267916
    Oben rechts KachelX + 1 28190 KachelY 8098 -0.43891025 1.38348613 -25.147705 79.267916
    Unten links KachelX 28189 KachelY + 1 8099 -0.43900613 1.38346827 -25.153198 79.266893
    Unten rechts KachelX + 1 28190 KachelY + 1 8099 -0.43891025 1.38346827 -25.147705 79.266893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38348613-1.38346827) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38348613-1.38346827) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43900613--0.43891025) × cos(1.38348613) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.186216816822021 × 6371000     		do = 113.750818156612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43900613--0.43891025) × cos(1.38346827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.186234364397262 × 6371000     		du = 113.761537118918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38348613)-sin(1.38346827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186216816822021-0.186234364397262)×R²
    abs(-0.43891025--0.43900613)×1.75475752411114e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.75475752411114e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.75475752411114e-05×40589641000000     		ar = 12943.8672544856m²