Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28188 / 43694
↖ ↑ ↗
← S 51.337476°
W 25.158691°		 ← 381.58 m → S 51.337476°
W 25.153198°		 →
↑
381.56 m
↓
↑
381.56 m
↓
S 51.340907°
W 25.158691°		 ← 381.55 m →
145 589 m²		 S 51.340907°
W 25.153198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430122375488281 y=0.666725158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430122375488281 × 216)
    floor (0.430122375488281 × 65536)
    floor (28188.5)     		tx = 28188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666725158691406 × 216)
    floor (0.666725158691406 × 65536)
    floor (43694.5)     		ty = 43694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28188 / 43694 ti = "16/28188/43694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28188/43694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28188 ÷ 216
    28188 ÷ 65536     		x = 0.43011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43694 ÷ 216
    43694 ÷ 65536     		y = 0.666717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.33343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04751713049747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43910200} λ = -0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04751713049747))-π/2
    2×atan(0.350807678389746)-π/2
    2×0.3373941734162-π/2
    0.6747883468324-1.57079632675     		φ = -0.89600798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89600798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.337476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28188 KachelY 43694 -0.43910200 -0.89600798 -25.158691 -51.337476
    Oben rechts KachelX + 1 28189 KachelY 43694 -0.43900613 -0.89600798 -25.153198 -51.337476
    Unten links KachelX 28188 KachelY + 1 43695 -0.43910200 -0.89606787 -25.158691 -51.340907
    Unten rechts KachelX + 1 28189 KachelY + 1 43695 -0.43900613 -0.89606787 -25.153198 -51.340907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89600798--0.89606787) × R
    5.98899999999514e-05 × 6371000     		dl = 381.55918999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89600798--0.89606787) × R
    5.98899999999514e-05 × 6371000     		dr = 381.55918999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43910200--0.43900613) × cos(-0.89600798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624732063603693 × 6371000     		do = 381.578703975989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43910200--0.43900613) × cos(-0.89606787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624685298023924 × 6371000     		du = 381.55014013181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89600798)-sin(-0.89606787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624732063603693-0.624685298023924)×R²
    abs(-0.43900613--0.43910200)×4.67655797686817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67655797686817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67655797686817e-05×40589641000000     		ar = 145589.411855203m²