Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28188 / 43684
↖ ↑ ↗
← S 51.303145°
W 25.158691°		 ← 381.86 m → S 51.303145°
W 25.153198°		 →
↑
381.88 m
↓
↑
381.88 m
↓
S 51.306579°
W 25.158691°		 ← 381.84 m →
145 820 m²		 S 51.306579°
W 25.153198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430122375488281 y=0.666572570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430122375488281 × 216)
    floor (0.430122375488281 × 65536)
    floor (28188.5)     		tx = 28188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666572570800781 × 216)
    floor (0.666572570800781 × 65536)
    floor (43684.5)     		ty = 43684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28188 / 43684 ti = "16/28188/43684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28188/43684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28188 ÷ 216
    28188 ÷ 65536     		x = 0.43011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43684 ÷ 216
    43684 ÷ 65536     		y = 0.66656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.3331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04655839250507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43910200} λ = -0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04655839250507))-π/2
    2×atan(0.351144172318026)-π/2
    2×0.337693762705827-π/2
    0.675387525411655-1.57079632675     		φ = -0.89540880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89540880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.303145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28188 KachelY 43684 -0.43910200 -0.89540880 -25.158691 -51.303145
    Oben rechts KachelX + 1 28189 KachelY 43684 -0.43900613 -0.89540880 -25.153198 -51.303145
    Unten links KachelX 28188 KachelY + 1 43685 -0.43910200 -0.89546874 -25.158691 -51.306579
    Unten rechts KachelX + 1 28189 KachelY + 1 43685 -0.43900613 -0.89546874 -25.153198 -51.306579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89540880--0.89546874) × R
    5.99399999999806e-05 × 6371000     		dl = 381.877739999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89540880--0.89546874) × R
    5.99399999999806e-05 × 6371000     		dr = 381.877739999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43910200--0.43900613) × cos(-0.89540880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625199814660046 × 6371000     		do = 381.864400600615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43910200--0.43900613) × cos(-0.89546874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625153032481164 × 6371000     		du = 381.8358266179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89540880)-sin(-0.89546874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625199814660046-0.625153032481164)×R²
    abs(-0.43900613--0.43910200)×4.67821788820988e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67821788820988e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67821788820988e-05×40589641000000     		ar = 145820.058447472m²