Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28187 / 14871
↖ ↑ ↗
← N 69.613119°
W 25.164184°		 ← 212.77 m → N 69.613119°
W 25.158691°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
N 69.611205°
W 25.164184°		 ← 212.79 m →
45 278 m²		 N 69.611205°
W 25.158691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430107116699219 y=0.226921081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430107116699219 × 216)
    floor (0.430107116699219 × 65536)
    floor (28187.5)     		tx = 28187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226921081542969 × 216)
    floor (0.226921081542969 × 65536)
    floor (14871.5)     		ty = 14871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28187 / 14871 ti = "16/28187/14871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28187/14871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28187 ÷ 216
    28187 ÷ 65536     		x = 0.430099487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14871 ÷ 216
    14871 ÷ 65536     		y = 0.226913452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430099487304688 × 2 - 1) × π
    -0.139801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43919787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226913452148438 × 2 - 1) × π
    0.546173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71585338500029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43919787} λ = -0.43919787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71585338500029))-π/2
    2×atan(5.56141951983965)-π/2
    2×1.39288723047868-π/2
    2.78577446095736-1.57079632675     		φ = 1.21497813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43919787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.164184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21497813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.613119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28187 KachelY 14871 -0.43919787 1.21497813 -25.164184 69.613119
    Oben rechts KachelX + 1 28188 KachelY 14871 -0.43910200 1.21497813 -25.158691 69.613119
    Unten links KachelX 28187 KachelY + 1 14872 -0.43919787 1.21494473 -25.164184 69.611205
    Unten rechts KachelX + 1 28188 KachelY + 1 14872 -0.43910200 1.21494473 -25.158691 69.611205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21497813-1.21494473) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21497813-1.21494473) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43919787--0.43910200) × cos(1.21497813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348357428155602 × 6371000     		do = 212.772456706091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43919787--0.43910200) × cos(1.21494473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348388735844664 × 6371000     		du = 212.791579059677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21497813)-sin(1.21494473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348357428155602-0.348388735844664)×R²
    abs(-0.43910200--0.43919787)×3.13076890617325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13076890617325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13076890617325e-05×40589641000000     		ar = 45278.1834842634m²