Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28184 / 43576
↖ ↑ ↗
← S 50.930738°
W 25.180664°		 ← 384.99 m → S 50.930738°
W 25.175171°		 →
↑
384.94 m
↓
↑
384.94 m
↓
S 50.934200°
W 25.180664°		 ← 384.97 m →
148 193 m²		 S 50.934200°
W 25.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430061340332031 y=0.664924621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430061340332031 × 216)
    floor (0.430061340332031 × 65536)
    floor (28184.5)     		tx = 28184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664924621582031 × 216)
    floor (0.664924621582031 × 65536)
    floor (43576.5)     		ty = 43576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28184 / 43576 ti = "16/28184/43576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28184/43576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28184 ÷ 216
    28184 ÷ 65536     		x = 0.4300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43576 ÷ 216
    43576 ÷ 65536     		y = 0.6649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43948550} λ = -0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03620402218713))-π/2
    2×atan(0.354798937857968)-π/2
    2×0.340943628914505-π/2
    0.681887257829011-1.57079632675     		φ = -0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28184 KachelY 43576 -0.43948550 -0.88890907 -25.180664 -50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 28185 KachelY 43576 -0.43938962 -0.88890907 -25.175171 -50.930738
    Unten links KachelX 28184 KachelY + 1 43577 -0.43948550 -0.88896949 -25.180664 -50.934200
    Unten rechts KachelX + 1 28185 KachelY + 1 43577 -0.43938962 -0.88896949 -25.175171 -50.934200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88890907--0.88896949) × R
    6.0420000000061e-05 × 6371000     		dl = 384.935820000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88890907--0.88896949) × R
    6.0420000000061e-05 × 6371000     		dr = 384.935820000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43948550--0.43938962) × cos(-0.88890907) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 384.994876734612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43948550--0.43938962) × cos(-0.88896949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.630212472436217 × 6371000     		du = 384.966221502093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88890907)-sin(-0.88896949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.630212472436217)×R²
    abs(-0.43938962--0.43948550)×4.69103103732937e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69103103732937e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69103103732937e-05×40589641000000     		ar = 148192.8034042m²