Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28182 / 43590
↖ ↑ ↗
← S 50.979182°
W 25.191650°		 ← 384.55 m → S 50.979182°
W 25.186157°		 →
↑
384.55 m
↓
↑
384.55 m
↓
S 50.982641°
W 25.191650°		 ← 384.52 m →
147 876 m²		 S 50.982641°
W 25.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430030822753906 y=0.665138244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430030822753906 × 216)
    floor (0.430030822753906 × 65536)
    floor (28182.5)     		tx = 28182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665138244628906 × 216)
    floor (0.665138244628906 × 65536)
    floor (43590.5)     		ty = 43590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28182 / 43590 ti = "16/28182/43590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28182/43590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28182 ÷ 216
    28182 ÷ 65536     		x = 0.430023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43590 ÷ 216
    43590 ÷ 65536     		y = 0.665130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.33026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0375462553765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43967724} λ = -0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0375462553765))-π/2
    2×atan(0.354323034406178)-π/2
    2×0.340520871747266-π/2
    0.681041743494532-1.57079632675     		φ = -0.88975458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88975458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.979182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28182 KachelY 43590 -0.43967724 -0.88975458 -25.191650 -50.979182
    Oben rechts KachelX + 1 28183 KachelY 43590 -0.43958137 -0.88975458 -25.186157 -50.979182
    Unten links KachelX 28182 KachelY + 1 43591 -0.43967724 -0.88981494 -25.191650 -50.982641
    Unten rechts KachelX + 1 28183 KachelY + 1 43591 -0.43958137 -0.88981494 -25.186157 -50.982641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88975458--0.88981494) × R
    6.03600000000926e-05 × 6371000     		dl = 384.55356000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88975458--0.88981494) × R
    6.03600000000926e-05 × 6371000     		dr = 384.55356000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43967724--0.43958137) × cos(-0.88975458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62960271656501 × 6371000     		do = 384.553639236676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43967724--0.43958137) × cos(-0.88981494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629555820692672 × 6371000     		du = 384.524995811389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88975458)-sin(-0.88981494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62960271656501-0.629555820692672)×R²
    abs(-0.43958137--0.43967724)×4.68958723376378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68958723376378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68958723376378e-05×40589641000000     		ar = 147875.96355896m²