Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28182 / 14873
↖ ↑ ↗
← N 69.609292°
W 25.191650°		 ← 212.81 m → N 69.609292°
W 25.186157°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
N 69.607378°
W 25.191650°		 ← 212.83 m →
45 286 m²		 N 69.607378°
W 25.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430030822753906 y=0.226951599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430030822753906 × 216)
    floor (0.430030822753906 × 65536)
    floor (28182.5)     		tx = 28182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226951599121094 × 216)
    floor (0.226951599121094 × 65536)
    floor (14873.5)     		ty = 14873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28182 / 14873 ti = "16/28182/14873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28182/14873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28182 ÷ 216
    28182 ÷ 65536     		x = 0.430023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14873 ÷ 216
    14873 ÷ 65536     		y = 0.226943969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226943969726562 × 2 - 1) × π
    0.546112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71566163740181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43967724} λ = -0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71566163740181))-π/2
    2×atan(5.56035323323479)-π/2
    2×1.39285382912731-π/2
    2.78570765825462-1.57079632675     		φ = 1.21491133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21491133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.609292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28182 KachelY 14873 -0.43967724 1.21491133 -25.191650 69.609292
    Oben rechts KachelX + 1 28183 KachelY 14873 -0.43958137 1.21491133 -25.186157 69.609292
    Unten links KachelX 28182 KachelY + 1 14874 -0.43967724 1.21487793 -25.191650 69.607378
    Unten rechts KachelX + 1 28183 KachelY + 1 14874 -0.43958137 1.21487793 -25.186157 69.607378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21491133-1.21487793) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21491133-1.21487793) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43967724--0.43958137) × cos(1.21491133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348420043145077 × 6371000     		do = 212.810701175881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43967724--0.43958137) × cos(1.21487793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348451350056807 × 6371000     		du = 212.829823054682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21491133)-sin(1.21487793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348420043145077-0.348451350056807)×R²
    abs(-0.43958137--0.43967724)×3.1306911729756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1306911729756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1306911729756e-05×40589641000000     		ar = 45286.3215284476m²