Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28180 / 43468
↖ ↑ ↗
← S 50.555325°
W 25.202637°		 ← 388.05 m → S 50.555325°
W 25.197144°		 →
↑
387.99 m
↓
↑
387.99 m
↓
S 50.558815°
W 25.202637°		 ← 388.02 m →
150 557 m²		 S 50.558815°
W 25.197144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430000305175781 y=0.663276672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430000305175781 × 216)
    floor (0.430000305175781 × 65536)
    floor (28180.5)     		tx = 28180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663276672363281 × 216)
    floor (0.663276672363281 × 65536)
    floor (43468.5)     		ty = 43468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28180 / 43468 ti = "16/28180/43468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28180/43468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28180 ÷ 216
    28180 ÷ 65536     		x = 0.42999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43468 ÷ 216
    43468 ÷ 65536     		y = 0.66326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.1400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43986899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.3265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43986899} λ = -0.43986899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0258496518692))-π/2
    2×atan(0.358491742790858)-π/2
    2×0.344219725726406-π/2
    0.688439451452812-1.57079632675     		φ = -0.88235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43986899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.555325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28180 KachelY 43468 -0.43986899 -0.88235688 -25.202637 -50.555325
    Oben rechts KachelX + 1 28181 KachelY 43468 -0.43977312 -0.88235688 -25.197144 -50.555325
    Unten links KachelX 28180 KachelY + 1 43469 -0.43986899 -0.88241778 -25.202637 -50.558815
    Unten rechts KachelX + 1 28181 KachelY + 1 43469 -0.43977312 -0.88241778 -25.197144 -50.558815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88235688--0.88241778) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dl = 387.993900000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88235688--0.88241778) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dr = 387.993900000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43986899--0.43977312) × cos(-0.88235688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		do = 388.053526830244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43986899--0.43977312) × cos(-0.88241778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635285806683885 × 6371000     		du = 388.024801177093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88235688)-sin(-0.88241778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63533283718214-0.635285806683885)×R²
    abs(-0.43977312--0.43986899)×4.70304982553849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70304982553849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70304982553849e-05×40589641000000     		ar = 150556.828641336m²