Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2818 / 5965
↖ ↑ ↗
← S 63.174194°
W 56.162109°		 ← 2 205.17 m → S 63.174194°
W 56.118164°		 →
↑
2 204.43 m
↓
↑
2 204.43 m
↓
S 63.194018°
W 56.162109°		 ← 2 203.67 m →
4 859 489 m²		 S 63.194018°
W 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34405517578125 y=0.72821044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34405517578125 × 213)
    floor (0.34405517578125 × 8192)
    floor (2818.5)     		tx = 2818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72821044921875 × 213)
    floor (0.72821044921875 × 8192)
    floor (5965.5)     		ty = 5965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2818 / 5965 ti = "13/2818/5965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2818/5965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2818 ÷ 213
    2818 ÷ 8192     		x = 0.343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5965 ÷ 213
    5965 ÷ 8192     		y = 0.7281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98021372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43350504623816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98021372} λ = -0.98021372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43350504623816))-π/2
    2×atan(0.238471601686951)-π/2
    2×0.234099323063832-π/2
    0.468198646127665-1.57079632675     		φ = -1.10259768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98021372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10259768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.174194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2818 KachelY 5965 -0.98021372 -1.10259768 -56.162109 -63.174194
    Oben rechts KachelX + 1 2819 KachelY 5965 -0.97944673 -1.10259768 -56.118164 -63.174194
    Unten links KachelX 2818 KachelY + 1 5966 -0.98021372 -1.10294369 -56.162109 -63.194018
    Unten rechts KachelX + 1 2819 KachelY + 1 5966 -0.97944673 -1.10294369 -56.118164 -63.194018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10259768--1.10294369) × R
    0.000346010000000119 × 6371000     		dl = 2204.42971000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10259768--1.10294369) × R
    0.000346010000000119 × 6371000     		dr = 2204.42971000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98021372--0.97944673) × cos(-1.10259768) × R
    0.000766989999999912 × 0.451279522074995 × 6371000     		do = 2205.17435653361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98021372--0.97944673) × cos(-1.10294369) × R
    0.000766989999999912 × 0.450970721746385 × 6371000     		du = 2203.66540579991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10259768)-sin(-1.10294369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451279522074995-0.450970721746385)×R²
    abs(-0.97944673--0.98021372)×0.000308800328609693×R²
    0.000766989999999912×0.000308800328609693×6371000²
    0.000766989999999912×0.000308800328609693×40589641000000     		ar = 4859488.72784318m²