Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28178 / 7121
↖ ↑ ↗
← N 80.222655°
W 25.213623°		 ← 103.73 m → N 80.222655°
W 25.208130°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
N 80.221722°
W 25.213623°		 ← 103.74 m →
10 760 m²		 N 80.221722°
W 25.208130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429969787597656 y=0.108665466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429969787597656 × 216)
    floor (0.429969787597656 × 65536)
    floor (28178.5)     		tx = 28178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108665466308594 × 216)
    floor (0.108665466308594 × 65536)
    floor (7121.5)     		ty = 7121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28178 / 7121 ti = "16/28178/7121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28178/7121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28178 ÷ 216
    28178 ÷ 65536     		x = 0.429962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7121 ÷ 216
    7121 ÷ 65536     		y = 0.108657836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.14007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44006074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108657836914062 × 2 - 1) × π
    0.782684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45887532911116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44006074} λ = -0.44006074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45887532911116))-π/2
    2×atan(11.6916548790261)-π/2
    2×1.48547289433885-π/2
    2.97094578867769-1.57079632675     		φ = 1.40014946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44006074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40014946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.222655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28178 KachelY 7121 -0.44006074 1.40014946 -25.213623 80.222655
    Oben rechts KachelX + 1 28179 KachelY 7121 -0.43996486 1.40014946 -25.208130 80.222655
    Unten links KachelX 28178 KachelY + 1 7122 -0.44006074 1.40013318 -25.213623 80.221722
    Unten rechts KachelX + 1 28179 KachelY + 1 7122 -0.43996486 1.40013318 -25.208130 80.221722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40014946-1.40013318) × R
    1.62799999998686e-05 × 6371000     		dl = 103.719879999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40014946-1.40013318) × R
    1.62799999998686e-05 × 6371000     		dr = 103.719879999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44006074--0.43996486) × cos(1.40014946) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.169819855685757 × 6371000     		do = 103.734710179023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44006074--0.43996486) × cos(1.40013318) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.169835899198243 × 6371000     		du = 103.744510382369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40014946)-sin(1.40013318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169819855685757-0.169835899198243)×R²
    abs(-0.43996486--0.44006074)×1.60435124853253e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.60435124853253e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.60435124853253e-05×40589641000000     		ar = 10759.8599296498m²