Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28178 / 14857
↖ ↑ ↗
← N 69.639893°
W 25.213623°		 ← 212.53 m → N 69.639893°
W 25.208130°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
N 69.637981°
W 25.213623°		 ← 212.55 m →
45 172 m²		 N 69.637981°
W 25.208130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429969787597656 y=0.226707458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429969787597656 × 216)
    floor (0.429969787597656 × 65536)
    floor (28178.5)     		tx = 28178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226707458496094 × 216)
    floor (0.226707458496094 × 65536)
    floor (14857.5)     		ty = 14857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28178 / 14857 ti = "16/28178/14857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28178/14857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28178 ÷ 216
    28178 ÷ 65536     		x = 0.429962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14857 ÷ 216
    14857 ÷ 65536     		y = 0.226699829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.14007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44006074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226699829101562 × 2 - 1) × π
    0.546600341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71719561818965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44006074} λ = -0.44006074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71719561818965))-π/2
    2×atan(5.56888925364)-π/2
    2×1.39312087190872-π/2
    2.78624174381744-1.57079632675     		φ = 1.21544542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44006074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21544542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.639893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28178 KachelY 14857 -0.44006074 1.21544542 -25.213623 69.639893
    Oben rechts KachelX + 1 28179 KachelY 14857 -0.43996486 1.21544542 -25.208130 69.639893
    Unten links KachelX 28178 KachelY + 1 14858 -0.44006074 1.21541206 -25.213623 69.637981
    Unten rechts KachelX + 1 28179 KachelY + 1 14858 -0.43996486 1.21541206 -25.208130 69.637981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21544542-1.21541206) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21544542-1.21541206) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44006074--0.43996486) × cos(1.21544542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347919370352799 × 6371000     		do = 212.527062300659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44006074--0.43996486) × cos(1.21541206) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347950645975157 × 6371000     		du = 212.546167060864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21544542)-sin(1.21541206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347919370352799-0.347950645975157)×R²
    abs(-0.43996486--0.44006074)×3.12756223576072e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.12756223576072e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.12756223576072e-05×40589641000000     		ar = 45171.8009624731m²