Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28176 / 44532
↖ ↑ ↗
← S 54.123822°
W 25.224610°		 ← 357.98 m → S 54.123822°
W 25.219116°		 →
↑
357.99 m
↓
↑
357.99 m
↓
S 54.127041°
W 25.224610°		 ← 357.95 m →
128 147 m²		 S 54.127041°
W 25.219116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429939270019531 y=0.679512023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429939270019531 × 216)
    floor (0.429939270019531 × 65536)
    floor (28176.5)     		tx = 28176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679512023925781 × 216)
    floor (0.679512023925781 × 65536)
    floor (44532.5)     		ty = 44532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28176 / 44532 ti = "16/28176/44532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28176/44532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28176 ÷ 216
    28176 ÷ 65536     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44532 ÷ 216
    44532 ÷ 65536     		y = 0.67950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.3590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12785937426068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12785937426068))-π/2
    2×atan(0.323725490368173)-π/2
    2×0.313078717189182-π/2
    0.626157434378364-1.57079632675     		φ = -0.94463889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94463889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.123822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28176 KachelY 44532 -0.44025249 -0.94463889 -25.224610 -54.123822
    Oben rechts KachelX + 1 28177 KachelY 44532 -0.44015661 -0.94463889 -25.219116 -54.123822
    Unten links KachelX 28176 KachelY + 1 44533 -0.44025249 -0.94469508 -25.224610 -54.127041
    Unten rechts KachelX + 1 28177 KachelY + 1 44533 -0.44015661 -0.94469508 -25.219116 -54.127041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94463889--0.94469508) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dl = 357.986490000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94463889--0.94469508) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dr = 357.986490000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.44015661) × cos(-0.94463889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.586035519369062 × 6371000     		do = 357.980664339133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.44015661) × cos(-0.94469508) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585989988509371 × 6371000     		du = 357.952851746104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94463889)-sin(-0.94469508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586035519369062-0.585989988509371)×R²
    abs(-0.44015661--0.44025249)×4.55308596917225e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55308596917225e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55308596917225e-05×40589641000000     		ar = 128147.263282271m²