Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28176 / 43601
↖ ↑ ↗
← S 51.017211°
W 25.224610°		 ← 384.28 m → S 51.017211°
W 25.219116°		 →
↑
384.24 m
↓
↑
384.24 m
↓
S 51.020666°
W 25.224610°		 ← 384.25 m →
147 648 m²		 S 51.020666°
W 25.219116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429939270019531 y=0.665306091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429939270019531 × 216)
    floor (0.429939270019531 × 65536)
    floor (28176.5)     		tx = 28176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665306091308594 × 216)
    floor (0.665306091308594 × 65536)
    floor (43601.5)     		ty = 43601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28176 / 43601 ti = "16/28176/43601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28176/43601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28176 ÷ 216
    28176 ÷ 65536     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43601 ÷ 216
    43601 ÷ 65536     		y = 0.665298461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665298461914062 × 2 - 1) × π
    -0.330596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03860086716814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03860086716814))-π/2
    2×atan(0.353949558126902)-π/2
    2×0.340189014520056-π/2
    0.680378029040113-1.57079632675     		φ = -0.89041830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89041830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.017211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28176 KachelY 43601 -0.44025249 -0.89041830 -25.224610 -51.017211
    Oben rechts KachelX + 1 28177 KachelY 43601 -0.44015661 -0.89041830 -25.219116 -51.017211
    Unten links KachelX 28176 KachelY + 1 43602 -0.44025249 -0.89047861 -25.224610 -51.020666
    Unten rechts KachelX + 1 28177 KachelY + 1 43602 -0.44015661 -0.89047861 -25.219116 -51.020666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89041830--0.89047861) × R
    6.03099999999523e-05 × 6371000     		dl = 384.235009999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89041830--0.89047861) × R
    6.03099999999523e-05 × 6371000     		dr = 384.235009999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.44015661) × cos(-0.89041830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629086922405536 × 6371000     		do = 384.278677600038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.44015661) × cos(-0.89047861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629040040189884 × 6371000     		du = 384.25003952922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89041830)-sin(-0.89047861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629086922405536-0.629040040189884)×R²
    abs(-0.44015661--0.44025249)×4.68822156528548e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68822156528548e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68822156528548e-05×40589641000000     		ar = 147647.819700249m²