Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28172 / 43603
↖ ↑ ↗
← S 51.024121°
W 25.246582°		 ← 384.18 m → S 51.024121°
W 25.241089°		 →
↑
384.24 m
↓
↑
384.24 m
↓
S 51.027577°
W 25.246582°		 ← 384.15 m →
147 610 m²		 S 51.027577°
W 25.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429878234863281 y=0.665336608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429878234863281 × 216)
    floor (0.429878234863281 × 65536)
    floor (28172.5)     		tx = 28172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665336608886719 × 216)
    floor (0.665336608886719 × 65536)
    floor (43603.5)     		ty = 43603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28172 / 43603 ti = "16/28172/43603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28172/43603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28172 ÷ 216
    28172 ÷ 65536     		x = 0.42987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43603 ÷ 216
    43603 ÷ 65536     		y = 0.665328979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665328979492188 × 2 - 1) × π
    -0.330657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03879261476662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44063598} λ = -0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03879261476662))-π/2
    2×atan(0.353881695655589)-π/2
    2×0.340128706061395-π/2
    0.68025741212279-1.57079632675     		φ = -0.89053891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89053891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.024121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28172 KachelY 43603 -0.44063598 -0.89053891 -25.246582 -51.024121
    Oben rechts KachelX + 1 28173 KachelY 43603 -0.44054011 -0.89053891 -25.241089 -51.024121
    Unten links KachelX 28172 KachelY + 1 43604 -0.44063598 -0.89059922 -25.246582 -51.027577
    Unten rechts KachelX + 1 28173 KachelY + 1 43604 -0.44054011 -0.89059922 -25.241089 -51.027577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89053891--0.89059922) × R
    6.03100000000634e-05 × 6371000     		dl = 384.235010000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89053891--0.89059922) × R
    6.03100000000634e-05 × 6371000     		dr = 384.235010000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44063598--0.44054011) × cos(-0.89053891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628993163460334 × 6371000     		do = 384.181331655175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44063598--0.44054011) × cos(-0.89059922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628946276669221 × 6371000     		du = 384.152693776588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89053891)-sin(-0.89059922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628993163460334-0.628946276669221)×R²
    abs(-0.44054011--0.44063598)×4.68867911127546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68867911127546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68867911127546e-05×40589641000000     		ar = 147610.416017309m²