Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28172 / 29193
↖ ↑ ↗
← N 70.131965°
W102.623291°		 ← 103.80 m → N 70.131965°
W102.620544°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.131032°
W102.623291°		 ← 103.81 m →
10 773 m²		 N 70.131032°
W102.620544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.214939117431641 y=0.222728729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.214939117431641 × 217)
    floor (0.214939117431641 × 131072)
    floor (28172.5)     		tx = 28172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222728729248047 × 217)
    floor (0.222728729248047 × 131072)
    floor (29193.5)     		ty = 29193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28172 / 29193 ti = "17/28172/29193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28172/29193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28172 ÷ 217
    28172 ÷ 131072     		x = 0.214935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29193 ÷ 217
    29193 ÷ 131072     		y = 0.222724914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.214935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.57012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.79111432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222724914550781 × 2 - 1) × π
    0.554550170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.7421707428917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79111432} λ = -1.79111432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7421707428917))-π/2
    2×atan(5.70972432342279)-π/2
    2×1.39741501364912-π/2
    2.79483002729824-1.57079632675     		φ = 1.22403370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79111432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22403370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.131965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28172 KachelY 29193 -1.79111432 1.22403370 -102.623291 70.131965
    Oben rechts KachelX + 1 28173 KachelY 29193 -1.79106638 1.22403370 -102.620544 70.131965
    Unten links KachelX 28172 KachelY + 1 29194 -1.79111432 1.22401741 -102.623291 70.131032
    Unten rechts KachelX + 1 28173 KachelY + 1 29194 -1.79106638 1.22401741 -102.620544 70.131032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22403370-1.22401741) × R
    1.62899999998078e-05 × 6371000     		dl = 103.783589998776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22403370-1.22401741) × R
    1.62899999998078e-05 × 6371000     		dr = 103.783589998776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79111432--1.79106638) × cos(1.22403370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339854915834071 × 6371000     		do = 103.800439161191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79111432--1.79106638) × cos(1.22401741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339870236173585 × 6371000     		du = 103.805118387224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22403370)-sin(1.22401741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339854915834071-0.339870236173585)×R²
    abs(-1.79106638--1.79111432)×1.53203395146795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53203395146795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53203395146795e-05×40589641000000     		ar = 10773.0250332252m²