Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28171 / 6963
↖ ↑ ↗
← N 80.368950°
W 25.252075°		 ← 102.20 m → N 80.368950°
W 25.246582°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
N 80.368031°
W 25.252075°		 ← 102.21 m →
10 444 m²		 N 80.368031°
W 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429862976074219 y=0.106254577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429862976074219 × 216)
    floor (0.429862976074219 × 65536)
    floor (28171.5)     		tx = 28171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106254577636719 × 216)
    floor (0.106254577636719 × 65536)
    floor (6963.5)     		ty = 6963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28171 / 6963 ti = "16/28171/6963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28171/6963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28171 ÷ 216
    28171 ÷ 65536     		x = 0.429855346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6963 ÷ 216
    6963 ÷ 65536     		y = 0.106246948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429855346679688 × 2 - 1) × π
    -0.140289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44073186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106246948242188 × 2 - 1) × π
    0.787506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4740233893911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44073186} λ = -0.44073186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4740233893911))-π/2
    2×atan(11.8701089762345)-π/2
    2×1.4867495608568-π/2
    2.97349912171361-1.57079632675     		φ = 1.40270279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44073186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40270279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.368950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28171 KachelY 6963 -0.44073186 1.40270279 -25.252075 80.368950
    Oben rechts KachelX + 1 28172 KachelY 6963 -0.44063598 1.40270279 -25.246582 80.368950
    Unten links KachelX 28171 KachelY + 1 6964 -0.44073186 1.40268675 -25.252075 80.368031
    Unten rechts KachelX + 1 28172 KachelY + 1 6964 -0.44063598 1.40268675 -25.246582 80.368031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40270279-1.40268675) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40270279-1.40268675) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44073186--0.44063598) × cos(1.40270279) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167303061656442 × 6371000     		do = 102.197322821361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44073186--0.44063598) × cos(1.40268675) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.167318875559389 × 6371000     		du = 102.20698276738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40270279)-sin(1.40268675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167303061656442-0.167318875559389)×R²
    abs(-0.44063598--0.44073186)×1.5813902946471e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.5813902946471e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.5813902946471e-05×40589641000000     		ar = 10444.1238437123m²