Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28171 / 44536
↖ ↑ ↗
← S 54.136696°
W 25.252075°		 ← 357.87 m → S 54.136696°
W 25.246582°		 →
↑
357.86 m
↓
↑
357.86 m
↓
S 54.139915°
W 25.252075°		 ← 357.84 m →
128 062 m²		 S 54.139915°
W 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429862976074219 y=0.679573059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429862976074219 × 216)
    floor (0.429862976074219 × 65536)
    floor (28171.5)     		tx = 28171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679573059082031 × 216)
    floor (0.679573059082031 × 65536)
    floor (44536.5)     		ty = 44536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28171 / 44536 ti = "16/28171/44536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28171/44536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28171 ÷ 216
    28171 ÷ 65536     		x = 0.429855346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44536 ÷ 216
    44536 ÷ 65536     		y = 0.6795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429855346679688 × 2 - 1) × π
    -0.140289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44073186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12824286945764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44073186} λ = -0.44073186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12824286945764))-π/2
    2×atan(0.323601366999363)-π/2
    2×0.312966363744329-π/2
    0.625932727488659-1.57079632675     		φ = -0.94486360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44073186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94486360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.136696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28171 KachelY 44536 -0.44073186 -0.94486360 -25.252075 -54.136696
    Oben rechts KachelX + 1 28172 KachelY 44536 -0.44063598 -0.94486360 -25.246582 -54.136696
    Unten links KachelX 28171 KachelY + 1 44537 -0.44073186 -0.94491977 -25.252075 -54.139915
    Unten rechts KachelX + 1 28172 KachelY + 1 44537 -0.44063598 -0.94491977 -25.246582 -54.139915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94486360--0.94491977) × R
    5.6170000000022e-05 × 6371000     		dl = 357.85907000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94486360--0.94491977) × R
    5.6170000000022e-05 × 6371000     		dr = 357.85907000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44073186--0.44063598) × cos(-0.94486360) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585853425350789 × 6371000     		do = 357.869431938572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44073186--0.44063598) × cos(-0.94491977) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585807903301983 × 6371000     		du = 357.841624727685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94486360)-sin(-0.94491977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585853425350789-0.585807903301983)×R²
    abs(-0.44063598--0.44073186)×4.5522048806812e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5522048806812e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5522048806812e-05×40589641000000     		ar = 128061.846597382m²