Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28171 / 29194
↖ ↑ ↗
← N 70.131032°
W102.626037°		 ← 103.78 m → N 70.131032°
W102.623291°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.130098°
W102.626037°		 ← 103.79 m →
10 771 m²		 N 70.130098°
W102.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.214931488037109 y=0.222736358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.214931488037109 × 217)
    floor (0.214931488037109 × 131072)
    floor (28171.5)     		tx = 28171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222736358642578 × 217)
    floor (0.222736358642578 × 131072)
    floor (29194.5)     		ty = 29194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28171 / 29194 ti = "17/28171/29194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28171/29194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28171 ÷ 217
    28171 ÷ 131072     		x = 0.214927673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29194 ÷ 217
    29194 ÷ 131072     		y = 0.222732543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.214927673339844 × 2 - 1) × π
    -0.570144653320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.79116225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222732543945312 × 2 - 1) × π
    0.554534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74212280599208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79116225} λ = -1.79116225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74212280599208))-π/2
    2×atan(5.70945062350125)-π/2
    2×1.39740686767001-π/2
    2.79481373534003-1.57079632675     		φ = 1.22401741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79116225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.626037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22401741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.131032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28171 KachelY 29194 -1.79116225 1.22401741 -102.626037 70.131032
    Oben rechts KachelX + 1 28172 KachelY 29194 -1.79111432 1.22401741 -102.623291 70.131032
    Unten links KachelX 28171 KachelY + 1 29195 -1.79116225 1.22400112 -102.626037 70.130098
    Unten rechts KachelX + 1 28172 KachelY + 1 29195 -1.79111432 1.22400112 -102.623291 70.130098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22401741-1.22400112) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22401741-1.22400112) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79116225--1.79111432) × cos(1.22401741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339870236173585 × 6371000     		do = 103.783465254609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79116225--1.79111432) × cos(1.22400112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339885556422911 × 6371000     		du = 103.788143477043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22401741)-sin(1.22400112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339870236173585-0.339885556422911)×R²
    abs(-1.79111432--1.79116225)×1.532024932549e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.532024932549e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.532024932549e-05×40589641000000     		ar = 10771.263368387m²